数据结构初阶--树和二叉树的概念与结构

目录

一.树

1.1.树的概念

1.2.树的相关概念

1.3.树的表示

1.4.树在实际中的运用

二.二叉树

2.1.二叉树的概念

2.2.特殊的二叉树

满二叉树

完全二叉树

2.3.二叉树的性质

2.4.二叉树的存储结构

顺序存储

链式存储

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一.树

1.1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。在任意一棵非空树中应满足：

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点；
2. 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1,T2,...,Tm，其中每一个集合Ti(1<=i<=m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；
3. 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

1.2.树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶节点或终端结点：度为0的节点称为叶节点；
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，一个节点也可以是它自己的祖先；
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；
森林：由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法，孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里简单了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

树的孩子兄弟表示法类似于中国的“长兄如父”的思想，它指的是由左边的孩子结点来接管父结点其余的孩子结点。

typedef int DataType;
struct TreeNode
{
	struct TreeNode* firstChild;//第一个孩子结点
	struct TreeNode* pNextBrother;//指向其下一个兄弟结点
	DataType data;//结点中的数据域
};

1.4.树在实际中的运用

常用于表示文件系统的目录树结构。

二.二叉树

2.1.二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空；
2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从图中可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点；
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2.特殊的二叉树

满二叉树

满二叉树：一棵高度为h，且含有2^h-1个结点的二叉树。

特点：

1. 只有最后一层有叶子结点；
2. 不存在度为1的结点，度要么为0要么为2；
3. 按层序从1开始编号，结点i的左孩子为2i，右孩子为2i+1，结点i的父结点为⌊i/2⌋(向下取整，如果有的话)。

完全二叉树

完全二叉树：当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应时，称为完全二叉树，在满足一一对应的原则下从满二叉树中删去几个编号较大的结点。

特点：

1. 只有最后两层可能有叶子结点；
2. 最多只有一个度为1的结点；
3. 与满二叉树一样，按层序从1开始编号，结点i的左孩子为2i，右孩子为2i+1；结点i的父结点为⌊i/2⌋(向下取整，如果有的话)；
4. i<=⌊i/2⌋为分支结点，i>⌊i/2⌋为叶子结点；
5. 完全二叉树中，如果某一个结点只有一个孩子，这个孩子一定是左孩子不是右孩子。

性质：

1. 具有n(n>0)个结点的完全二叉树的高度h为⌈log2(n+1)⌉或⌊log2(n)⌋+1；
2. 对于完全二叉树，给定结点数n推出度为0,1,2的结点个数为n0,n1,n2。 

2.3.二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 2^(i-1)个结点；
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1；
3.对任何一棵二叉树，如果度为0其叶结点个数为n0,，度为2的分支结点个数为n2，则有 n0＝ n2＋1；
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度为h = ⌈log2(n+1)⌉；
5.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点；
2. 若2i+1=n否则无左孩子；
3. 若2i+2=n否则无右孩子。

2.4.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一棵二叉树。

链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;

//二叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pLeft;//指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight;//指向当前节点右孩子
	BTDataType _data;//当前节点值域
};

//三叉链
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinTreeNode* _pParent;//指向当前节点的双亲
	struct BinTreeNode* _pLeft;//指向当前节点左孩子
	struct BinTreeNode* _pRight;//指向当前节点右孩子
	BTDataType _data;//当前节点值域
};