【力扣】2681. 英雄的力量

以下为他人题解思路，及本人代码

题目

题意

给你一个下标从 $0$ 开始的整数数组 $nums$ ，它表示英雄的能力值。如果我们选出一部分英雄，这组英雄的力量定义为：
$i_0，i_1，...i_k$ 表示这组英雄在数组中的下标。那么这组英雄的力量为 $max(nums[i_0],nums[i_1]...nums[i_k])2\ast min(nums[i_0],nums[i_1]...nums[i_k])$ 。
请你返回所有可能的非空英雄组的力量之和。由于答案可能非常大，请你将结果对 $10^9+7$ 取余。

示例 1

输入：$nums=[2,1,4]$
输出：$141$
解释：
第 $1$ 组：$[2]$ 的力量为 $2^2\ast 2=8$ 。
第 $2$ 组：$[1]$ 的力量为 $1^2\ast 1=1$ 。
第 $3$ 组：$[4]$ 的力量为 $4^2\ast 4=64$ 。
第 $4$ 组：$[2,1]$ 的力量为 $2^2\ast 1=4$ 。
第 $5$ 组：$[2,4]$ 的力量为 $4^2\ast 2=32$ 。
第 $6$ 组：$[1,4]$ 的力量为 $4^2\ast 1=16$ 。
第​ ​ ​ ​​​​​​7 组：$[2,1,4]$ 的力量为 $4^2\ast 1=16$ 。
所有英雄组的力量之和为 $8+1+64+4+32+16+16=141$ 。

示例 2

输入：$nums=[1,1,1]$
输出：$7$
解释：总共有 $7$ 个英雄组，每一组的力量都是 $1$ 。所以所有英雄组的力量之和为 $7$ 。

提示

1. $1<=nums.length<=10^5$
2. $1<=nums[i]<=10^9$

他人思路

贡献法

算法总结

由于元素的顺序不影响答案，先排序。

设有 $a,b,c,d,e$ 五个数，顺序从小到大。

如果把 $d$ 当成最大值：

• 如果只选 $d$ 单独一个数，那么力量为 $d^3$。
• 选 $a$ 为最小值，由于中间的 $b$ 和 $c$ 可选可不选，一共有 $2^2$ 种方案，所以力量总和为 $d^2\ast a\ast 2^2$。
• 选 $b$ 为最小值，由于中间的 $c$ 可选可不选，一共有 $2^1$ 种方案，所以力量总和为 $d^2\ast b\ast 2^1$。
• 选 $c$ 为最小值，只有 $2^0=1$ 种方案，所以力量总和为 $d^2\cdot c\cdot 2^0$。

因此，当 $d$ 为最大值时，$d$ 及其左侧元素对答案的贡献为
$$d^3+d^2\ast (a\ast 2^2+b\ast 2^1+c\ast 2^0)$$

令 $s=a\ast 2^2+b\ast 2^1+c\ast 2^0$，上式为
$$d^3+d^2\ast s=d^2\ast (d+s)$$

继续，把 $e$ 当成最大值，观察 $s$ 如何变化，也就是 $a,b,c,d$ 作为最小值的贡献：
$$\begin{gathered} a\ast 2^3+b\ast 2^3+c\ast 2^1+d\ast 2^0 \\ =2\ast (a\ast 2^2+b\ast 2^1+c\ast 2^0)+d\ast 2^0 \\ =2\ast s+d \end{gathered}$$

这意味着，我们不需要枚举最小值，只需要枚举最大值，就可以把 $s$ 递推计算出来。

复杂度

• 时间复杂度：$O(nlogn)$，其中 $n$ 为 $nums$ 的长度。瓶颈在排序上。
• 空间复杂度：$O(1)$。忽略排序的栈空间，仅用到若干额外变量。

本人代码

Java

class Solution {
    public int sumOfPower(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);

        long mod = (long) 1e9 + 7;
        long ans = 0, s = 0;
        for (long i : nums) {
            ans = (ans + i * i % mod * (i + s)) % mod;
            s = (2 * s + i) % mod;
        }

        return (int) ans;
    }
}

提交结果：通过

• 执行用时: $14ms$
• 内存消耗: $51.72MB$