Phi的反函数

Phi的反函数

题目描述

求最小的正整数x，使得$\phi (x)=n$

输入格式

输入正整数$n(n<2^{31})$

输出格式

输出x，如果$x>2^{31}$或者不存在，则输出-1

样例 #1

样例输入 #1

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样例输出 #1

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分析

对于一个x，因为质因数唯一分解定理存在：
$$x=p_1^{k_1}\ast p_2^{k_2}\ast ......\ast p_m^{k_m}=\prod _{i=1}^m{p}_i^{k_i}$$
根据$\varphi (x)的求法，可知：$
$$\varphi (x)=x\ast \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})=n$$
我们发现，n只与p有关，但与k无关，因此对于每个k，均取1时最小，即：
$$x_{min}=\prod _{i=1}^m{p}_i$$
$$\varphi (x_{min})=x\ast \prod _{i=1}^m(1-\frac{1}{p_i})=x\ast \frac{{\prod }_{i=1}^m\ast (p_i-1)}{{\prod }_{i=1}^m{p}_i}$$
进一步化简：
$$\varphi (x_{min})=\prod _{i=1}^m\ast (p_i-1)$$
由此得出规律

代码

#include 
using namespace std;
const int M=4*1e5+10;
int n;
bool ff=1;
long long ans=3*1e12;
map<int,bool> mp;
bool is_prime(int n){
	if (n<=1) return false;
	for (int i=2;i<=n/i;i++)
	if (n%i==0) return false;
	return true;
}
void dfs(int i,int num,int phi){
	if (phi>=ans) return;
	if(num==1){ans=min(ans,1ll*phi);ff=0;return;}
	if (is_prime(num+1)) dfs(i+1,1,phi*(num+1));
	for (int ii=2;ii<=num/ii;ii++){
		if (num%ii==0 and mp[ii]==0 and is_prime(ii+1)){
			mp[ii]=1;
			dfs(ii,num/ii,phi*(ii+1));
			mp[ii]=0;
		}
	}
}
signed main() {
	cin>>n;
	dfs(1,n,1);
	if (ff) cout<<-1;
	else cout<<ans;
	return 0;
}

代码分析

if (is_prime(num+1)) dfs(i+1,1,phi*(num+1));
if (num%ii==0 and mp[ii]==0 and is_prime(ii+1)){

这两行都调用了is_prime函数，但判断的都是某个数+1，这可以方便分解n