向上取整再分析

先看两个简单的数学问题：

1. 一个青蛙跳跃一次的长度为3，现在它垂直于马路方向要跳跃整条马路。假定马路的宽为x长？ 问：它最少需要跳跃几次能够完全跳过这条马路？

2. 一个房间可以住6个人，现在来了一群人，人数为x，问最少需要多少个房间才能让这x个人都可以住下？ 假设一个房间住满的情况下，才安排另外一个房间。

问题分析：

假设马路的长度是10，青蛙一次跳3，跳3次的距离是9 ，4次的距离是12，为了能完全跳过马路，需要跳跃4次

10/3 + 1 = 4

如果马路的长度是12，为了能完全跳过马路，需要跳跃4次：

12/3 = 4

如果马路的长度是13，需要5次才能完全过去:

13/3 + 1 = 5 

所以，这两个题目， 都是同样的道理，不难得出结论:

result = (x%n == 0) ? (x/n) : (x/n + 1)

三目运算可以解决此类问题，但针对此类问题有一个较为巧妙的算法公式， 分子是总量加上步长减去1 ，运算后的结果再去除以步长：

result =（x+n-1）/ n

计算机中的整数运算是向下取整的，也就是如果能整除，没有余数，那结果正好；如果不能整除，有余数，就将余数舍弃，保留相除后的整数部分。但此时正好和我们想要的结果（向上取整）相差一，正确的结果需要加上这个一。

下面是对这个公式的分析：

• 因为x/n的余数（计为z）总小于n，这样就能保证，余数(z + n-1) < 2n，所以z + (n-1)/n的值不是0就是1，如果z == 0，z + (n-1)/n = 0 ，如果z > 0，z + (n-1)/n = 1。

• 所以：result =（x+n-1）/ n，就能保证：如果x+n-1的余数等于n-1，x/n刚好能够整除余数z是0，向上取整不需要加1，如果x+n-1的余数大于n-1，那么x/n不能整除，有余数(z)，向上取整就需要x/n + 1，这里的1就是(z+n-1)/n = 1。

所以在C语言中，ceil函数可以使用以下公式：

int ceil(int x, int y) {
    return (x + y - 1) / y;
}

这个公式的原理和上面提到的一样，当x除以y时，如果x不能被y整除，那么向上取整后的结果应该是x除以y的商加上 1。

结合移位运算-实例分析

假设收到比特流157位，利用位运算如何得出占据多少个字节。

157 + 7 >> 3得到20字节：

// 157 +7 >> 3的二进制过程为：（用8位表示）

‭  10011101‬
+      111
--------------
  10100000
       >>3
--------------
  00010100=20

对157/8向上取整的做法：157除以8，如果有余数就对结果+1。

这里位运算的思想是：除以8，在位运算中就是右移3位，丢掉最后的3位。因为是向上取整，所以如果最后3位中只要有一个1，就不能单纯地丢掉这3位。都需要将第四位+1，表现出来的形式就是+7。

看一下7的二进制表示就很明显了，7的二进制是0b111，如果某个数的最后3位只要有一个1，再加上7，那么最终都会进位导致这个数的最后第四位+1，实现了向上取整的效果。然后再右移3位，实现了除法的效果。

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参考

向上取整