Linear Algebra 5:Matrix-Vector Products

https://www.youtube.com/watch?v=K2zzvo28X0g&feature=youtu.be

1.Matrix-Vector Products

矩阵和向量相乘，结果如下：

从行的角度来看矩阵和向量相乘：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。

从列的角度来看矩阵和向量相乘：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。

因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。

我们可以把A看作Linear System，把向量x作为参数传入Linear System，得到Ax，如下：

2.Example

若输入的的和分别变为-2和0.5，和的值如何改变？

针对这个Linear System，可以从行的角度和列的角度进行分析，下面从列的角度分析：

将Linear System按列可分为两组，，对应，对应，当和分别变化时，即对应Linear System的对应列发生变化，如本例题新的,。两向量相加得向量，故*=

3.Properties

如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。