离散化（算法）

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一、离散化的概念

离散化是一种将连续数据映射到离散值的过程。它通常用于优化某些算法，尤其是与区间查询相关的问题。

在离散化过程中，我们将一组实数转换为一组整数，使得原始数据的顺序和区间关系得以保留。具体地说，我们将原始数据排序，然后为每个不同的值分配一个整数。这个整数是该值在排序后出现的位置，即离散化后的数值。

假设我们有以下一组实数：{$3.5,2.1,5.6,1.2,3.5$}。对它们进行排序后，得到 {$1.2,2.1,3.5,3.5,5.6$}。接着，我们可以为每个不同的值分配一个整数，例如：

$1.2\to 1$
$2.1\to 2$
$3.5\to 3$
$5.6\to 4$

最终，我们将原始数据替换为离散化后的整数，得到 {$3,2,4,1,3$} 。这些整数可以用于解决一些与区间查询相关的问题，例如线段树、树状数组等算法。

二、离散化的模板

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); //去重
// 二分求出x对应离散化的值
int find(int x)
	{
	// 找到第一个大于等于x的位置
    int l = 0,r = alls.size() - 1;
    while(l<r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if(alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

三、离散化的应用

题目

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 $0$。
现在，我们首先进行 $n$ 次操作，每次操作将某一位置 $x$ 上的数加 $c$。
接下来，进行 $m$ 次询问，每个询问包含两个整数 $l$ 和 $r$，你需要求出在区间 $[l,r]$ 之间的所有数的和。

输入格式：
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。
接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $c$。
再接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$。

输出格式：
共 $m$ 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围：
$-10^9\le x\le 10^9$
$1\le n\le 10^5$
$1\le m\le 10^5$
$-10^9\le l\le r\le 10^9$
$-10000\le c\le 10000$

输入样例：

3 3
1 2
3 6
7 5
1 3
4 6
7 8

输出样例：

8
0
5

思路分析

由于$1\le n\le 10^5$ 和 $1\le m\le 10^5$ 所掉用的数字范围较小，而数轴范围较大，故可以将通过离散化处理，将$-10^9$ ~ $10^9$范围缩为 $10^5$左右，大大提高效率。

代码实现

tip：注意范围问题，s是从1开始的数组，所以可以通过调整二分法，将返回下标都加上1。

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 3 * 1e5 + 10;
int a[N], s[N];
vector<int> alls;
vector<PII> add, query;

// 二分查找
int find(int x)
{
	int l = 0, r = alls.size() - 1;
	while (l < r)
	{
		int mid = l + ((r - l) >> 1);
		if (alls[mid] >= x) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return l + 1; // 由于S是从1开始的，所以对应映射位置都往前提一位
}
int main()
{
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x, c;
		cin >> x >> c;
		add.push_back({x, c});
		alls.push_back(x);
	}
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		query.push_back({l, r});
		alls.push_back(l);
		alls.push_back(r);
	}
	sort(alls.begin(), alls.end());
	alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());
	for (auto& item : add)
	{
		int x = find(item.first);
		a[x] += item.second;
	}
	for (int i = 1; i <= alls.size(); ++i) s[i] = s[i - 1] + a[i];
	for (auto& item : query)
	{
		int l = find(item.first), r = find(item.second);
		cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
	}
	return 0;
}