杜教筛的小结

总所周知，杜教筛是一个可以快速求积性函数前缀和的工具，为了快速理解杜教筛，自己给自己写了一个文章快速理解。

它可以在O(n^2/3)的复杂度快速求出某个积性函数的前缀和。

例如，我们想要知道$f$函数的前缀和，我们可以去找一个$g$函数，可以O(1)求出前缀和的两个函数 $g$函数，$f\ast g$函数。

$f\ast g$函数中间的乘号代表迪利克雷卷积。
常见的迪利克雷卷积有
$\mu \ast I=ϵ$
$\phi \ast I=Id$
$Id\ast \mu =\phi$

$\mu$、$ϵ$、$\phi$分别代表莫比乌斯函数，单位元，欧拉函数。
$Id$、$I$分别表示$Id(n)=n$,$I(n)=[n==1]$

杜教筛的核心是什么呢？
由于$f\ast g$函数是可以O(1)求出来的。
我们考虑对其分解

然后就得到了一个核心式子:
$g(1)\ast sum(n)=\sum (f\ast g)(n)-\sum g(i)\ast sum(n/i)$

我们发现后面有$n/i$考虑对其数论分块即可。