2-2 实变函数之集合论（点集）

2-2 实变函数之集合论（点集）

1.度量空间

设X是一个非空集合，若对X中任意两个元素x,y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足：

1. $d(x,y)\ge 0,d(x,y)=0的充要条件是x=y$;
2. $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$,对任意的$z\in X$都成立，则称$d(x,y)$是$x,y$之间的距离，称$(X,d)$为度量空间或距离空间。
   注：XX空间可以理解成集合加上定义在集合上的xx特定法则

2.邻域、距离和直径

1. 邻域： $R^n$中所有和定点P_0距离小于定数$\delta$的点的全体，即：
   集合$\{p|d(p,p_0)<\delta \}$称为点$p_0$的$\delta$邻域，记为$U(p_0,\delta )$
   性质：
   (1). $p\in U(p)$
   (2). 对于$U_1(p),U_2(p),\exists U_3(p)\subset U_1(p)\bigcap U_2(p)$
   (3). 对于$Q\in U(p),\exists U(Q)\subset U(p)$
   (4). 对于$p\ne Q,\exists U(p),U(Q).使得U(P)\bigcap U(Q)=\varnothing$
2. 点与集合的距离
   $d(A,p)=\underset{a\in A}{\inf }d(a,p)$
3. 两个非空集合的距离
   $d(A,B)=\underset{p\in A,Q\in B}{\inf }d(P,Q)$
4. 非空集合直径
   $\delta (E)=\underset{P,Q\in E}{\inf }d(P,Q)$

3. 聚点、内点、界点

1.聚点

定义1： 设$E$是$R_n$中的一点集，$P_0$为$R_n$中一定点，如果$P_0$的任意邻域内都含有$E$d的无穷多点，则称$P_0$为$E$的聚点。$E$中不是聚点的点称为 孤立点。
注：由定义可知，有限集无聚点，且每个点都是孤立点。

2. 内点

定义2： 如果存在$P_0$的某一邻域$U(P_0)$,使$U(P_0)\subset E$则称$p_0$为$E$的内点。
注：内点都是聚点。

3.界点

定义3： 如果存在$P_0$的某一邻域$U(P_0)$,使$U(P_0)$中既有属于$E$的点也有不属于$E$的点，则称$P_0$为$E$的界点。

4.开核等定义及相关定理

1. 开核：全体内点构成的集合$\stackrel{o}{E}=\{x|\exists U(x)\subset E\}$
2. 导集：全体聚点构成的集合$E^{\prime }=\{x|\forall U(x)\bigcap E$\ {x}$\ne \varnothing \}$
3. 边界：全体聚点构成的集合$\partial E=\{x|\forall U(x)\bigcap E\ne \varnothing$ 并且$U(x)\bigcap E^c\ne \varnothing \}$
4. $\{E的孤立点\}=\{\exists U(x)使得U(x)\bigcap E=\{x\}\}$
5. 闭包：$\stackrel{-}{E}=E\bigcup E^{\prime }=E\bigcup \partial E=\stackrel{o}{E}\bigcup \partial E=E^{\prime }\bigcup \{E的孤立点\}$

5.聚点定理

有界无限点集必有聚点.

4.开集、闭集、完备集

1. 开集：设$E\in R^n$,若$E$的每一个点都是$E$的内点则称$E$为开集。
   注： $\forall x\in E,x\in \stackrel{o}{E}且$$E$是开集$⟺E=\stackrel{o}{E}$
2. 闭集：E的每一个聚点都属于E。
   闭集与开集最大的区别就是，开集中的每个点都是聚点(内点都是聚点），而闭集既有聚点也有非聚点，但是聚点必须属于E，也就是说E中的界点都是孤立点。
   注： $E$是闭集$⟺E^{\prime }\subset E$
3. 完备集：$E=E^{\prime }$
4. 紧集：可被有限个开集覆盖的集合。
   在$R^n$中有界闭集$⟺$紧集。
5. 自密集：$E$的每个点都是聚点即$E\subset E^{\prime }$$⟺$没有孤立点的集合是自密集或说属于集合的界点都是聚点的集合。
   自密集和完备集的不同在于，完备集中是聚点的界点必须属于E，而自密集只要满足E的点都是聚点，也就是说不属于E 的界点也可以是聚点。显然完备集就是自密集。
6. 完备集就是自密闭集，也就是没有孤立点的闭集
   由2，3，5即可得结论。
7. 开集的余集是闭集，反之亦然
8. 开集的并仍是开集，有限个开集的交是开集
9. 闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集

5.康托尔（cantor）三分集

将闭区间[0,1]三等分，去掉中间的开区间$(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$,剩下两个闭区间$[0,\frac{1}{3}]$,$[\frac{2}{3},1]$.又把剩下的两个区间分别三等分，去掉中间1/3.一般的当进行到第$n$次时，一共去掉$2^{n-1}$个开区间，剩下了$2^n$个长度是$3^{-n}$的互相隔离的闭区间，如此继续下去，就从[0,1]去掉了可数个互不相交（且没有公共端点）的开区间，而剩下的必是一个闭集（定理：直线上挖掉可数个互不相交的开区间后剩下的集合是一个闭集），称它为康托尔三分集，记为$P$。

康托尔三分集的性质：
（1）. $P$是完备集
（2）. $P$没有内点
（3）. [0,1] \ $P$是可数个互不相交的开区间，其长度(测度)之和为1
proof：
$第n$次去掉的$2^{n-1}$个长度为$\frac{1}{3^n}$区间，因此去掉的区间为：${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{2^{n-1}}{3^2}=1$.
（4）. $P$的基数为c（连续基数，即全体实数集的基数）.