RLC低通滤波器的设计和分析

一.并联型

LC二阶低通滤波网络：

（1）网络模型

（2）频域分析

二.串联型

LC二阶低通滤波网络：

该模型的G(s)为G(s)=1/CsR+sL+1/Cs

设计滤波器的参数过程：

1.时域分析（控制变量法）

传递函数：

执行以下程序得 ωC=5 时的单位阶跃响应曲线（阻尼响应曲线）。其中，阻尼比为0.2-2：

wc=5;

Q=[0.1:0.2:2];

figure(1)

hold on

for i=1./Q

num=[wc.^2];

den=[1,i*wc,wc.^2];

step(num,den)

end

由曲线可以看出，过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具 有最短的上升时间，响应速度最快，在过阻尼响应曲线中，阻尼系数(ξ= 1/ 2Q )越小，超调量越大，上身时间越短，根据工程实践，一般取 Q=0.7 左右，这时的超调量适度，上升时间也较短。

执行以下程序得Q=0.707时， ωC=2，4，6，8，10，12 时的单位阶跃响应曲线：

w=2:2:12;

Q=0.707;

figure(1)

hold on

for wc=w

num=wc.^2;

i=1./Q

den=[1,i*wc,wc.^2];

step(num,den);

end

由上图可知：在品质因数 Q 一定时，ωC越大，系统的响应时间就越快。

综上所述，选取Q=0.707和较大ωC的比较合适

2.频域分析

为一个二阶震荡系统，由其幅频特性可知，在低频段，ω<<ωn,,L(ω)=0,其低频渐近线是一条零分贝的水平线;在高频段，ω>> ωn,L(ω)~—40lg(w/wn)，其高频渐近线是一条斜率为-40dB的直线。折转频率为wn，。当ξ<0.707时，幅频特性曲线和渐近线之间会有谐振峰，影响准确性，随着ξ的减小，谐振峰增大。选择合适的折转频率，以保证逆变器输出的基波信号经过滤波器后不会衰减或衰减很小，而谐波信号会有较大的衰减。另一种理解：LC低通滤波器的截止频率与LC谐振频率的关系。（不能按照-3db或者0.707来定义）

波形并不是正常的低通滤波，而且在谐振频率点发生了谐振，LC低通滤波器的截止频率没有以0.707倍定义，而是直接使用了谐振频率点。

二阶低通滤波器的各个参数，影响其滤波特性，如阻尼系数的大小，决定了幅频特性有无峰值，或谐振峰的高低。如图所示为阻尼比对二阶低通滤波器幅频特性的影响。阻尼频率<0.707时会出现谐振峰。

一般来说，折转频率越低，滤波效果越好，但过低会增大基波信号的损失，同时所要求的电感和电容值会增大，增加了系统的成本和体积，也增大了损耗。由

可知，ξ不仅和电感电容的值有关，而且和负载R有关。R越小，ξ越大，系统的稳定性增强。滤波器的截止频率为

，必须远小于PWM电压中所含有的最低次谐波频率，又远大于基波频率。一般选为:10f1

其中f1为基波频率，fmin为最低次谐波频率。对于高频的PWM逆变器,载波频率远大于10倍的基波频率，一般选为载波频率的1/10-1/5。这些问题在实际设计中要考虑到。

3.滤波器参数确定

综合以上设计指标，选择L=1mH,C=100uF截止频率=503.3≈500Hz

选取

=0.707，R=2.236≈2Ω.带入得低通滤波器传递函数：

G（s）=10^7/(s^2+4471s+10^7)

（幅值换成dB）

分析：由频率特性曲线可知，带宽约为500Hz(谐振频率),及>500Hz电路在谐振频率上，将会产生震荡，明显处于不稳定状态，故满足实际LC电路设计要求。

此外，从相频曲线看出相角始终<0，此二阶系统实际上是一个滞后网络，可以在原系统相角裕度不足且截止频率较大的情况下减小系统的截止频率，挖掘系统自身相角储备。

由图可知，二阶系统的极点都分布在左半平面，为两个共轭虚根，系统稳定。

根据二阶系统的极点分布与瞬态响应的关系可以判断得到，极点的实部绝对值越大，调节时间越短；虚部绝对值越大，峰值时间越小；极点和原点的连线和实轴的夹角越大，超调量越大。根据公式：

=4/2240≈0.00179s

Tp=Π/2240≈0.00140s

OS%=e^（-Π）=4.3214%

系统运动方程为 s^2+4471s+10^7=0，有两个分布在虚轴左侧的共轭复根，平衡点为中心点（0，0），系统位置、速度最终收敛至0，此二阶系统稳定。