力扣：416. 分割等和子集

一、题目描述

给你一个 只包含正整数的 非空数组 nums。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：
输入： nums = [1,5,11,5]
输出： true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5]和 [11] 。

示例 2：
输入： nums = [1,2,3,5]
输出： false
解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

提示：
   1 <= nums.length <= 200
   1 <= nums[i] <= 100

二、问题分析

  先假设sum为数组的总和，需要确定是否可以将这个数组分割成两个元素和相等的子集，只要集合中出现总和sum/2的子集，就可以算这个数组可以分割成两个元素和相等的子集。也就是从数组从选出部分元素，使元素总和恰好为sum/2，推导到这里就可以用动态规划的经典理论0-1背包来解决问题。

• 确定dp数组及下标的含义：$dp[i]$表示总容量是$i$的背包最大可以凑成的总和
• 确定递推公式：相当于在背包中放入数值，而且物品$i$的重量是$nums[i]$，其价值也是$nums[i]$，$dp[i]$可以从$dp[j-nums[i]]+nums[i]$，所以递推公式：dp[i]=max(dp[i],dp[j-nums[i]]+nums[i])
• 初始化dp数组，题目中给出价值都是正整数，那么非0下标的数组都初始化为0即可。题目提示中说：每一个数组中的元素不会超过100，数组的长度不会超过200，那么总和不会大于20000，背包的最大容量只需要其中一半，所以10001就足够了。
• 确定遍历顺序：0-1背包使用一维数组，遍历物品的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环使用倒叙遍历。

三、代码实现

// 编程软件：VS2019
// 参考书籍：代码随想录
#include
#include
#include
using namespace std;

// 时间复杂度O(n的平方），空间复杂度O(n)
bool canPartition(vector<int>& nums) {
	int sum = 0;
	vector<int> dp(10001, 0);
	// 计算数组总和
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { 
		sum += nums[i];
	}
	// 如果数组总和为奇数，那么是不可能分成两个元素和相等的子集，直接返回false
	if (sum % 2 == 1) return false; 
	int target = sum / 2; 
	// 0-1背包逻辑
	for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
		// 每一个元素一定不能重复放入背包，所以for循环是从大到小遍历的
		for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
		}
	}
	// 判断是否恰好为target
	if (dp[target] == target) return true;
	return false;
}

int main() {
	vector<int>nums = { 1,5,11,5 };
	if (canPartition(nums))
		cout << "true";
	else
		cout << "false";
}
// 结果：true

四、小结

  要学会从题目的要求出发，逆向的推导问题，将问题本质与学过知识联系。就像本题，从是否可将数组分割成两个元素和相等的子集出发，推导出从数组选取部分元素，而这些元素之和若恰好为 sum/2，则说明符合题目要求，这就与 0-1背包碰上了。