[leetcode]304. 二维区域和检索 - 矩阵不可变(二维前缀和）

题目描述

给定一个二维矩阵，计算其子矩形范围内元素的总和，该子矩阵的左上角为 (row1, col1) ，右下角为 (row2, col2)。

上图子矩阵左上角 (row1, col1) = (2, 1) ，右下角(row2, col2) = (4, 3)，该子矩形内元素的总和为 8。

• 示例:
  给定 matrix = [
  [3, 0, 1, 4, 2],
  [5, 6, 3, 2, 1],
  [1, 2, 0, 1, 5],
  [4, 1, 0, 1, 7],
  [1, 0, 3, 0, 5]
  ]

sumRegion(2, 1, 4, 3) -> 8
sumRegion(1, 1, 2, 2) -> 11
sumRegion(1, 2, 2, 4) -> 12

• 说明:

1. 你可以假设矩阵不可变。
2. 会多次调用 sumRegion 方法。
3. 你可以假设 row1 ≤ row2 且 col1 ≤ col2。

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-2d-immutable

解题思路

参考官方题解：

二维前缀和

为了将每次检索的时间复杂度降到 O(1)，需要使用二维前缀和，在初始化的时候计算二维前缀和数组。

假设 m 和 n 分别是矩阵 $matrix$ 的行数和列数，定义当 $0\le i<m$ 且 $0\le j<n$ 时，$f(i,j)$ 为矩阵 $matrix$ 的以 $(i,j)$ 为右下角的子矩阵的元素之和。

• 当 $i=0$ 或 $j=0$ 时，计算 $f(i,j)$ 只需要对矩阵 $matrix$ 的最上边的行和最左边的列分别计算前缀和即可。

• 当 $i>0$ 和 $j>0$时，假设计算 $f(i,j)$ 时已经知道了 $f(i-1,j)$、$f(i,j-1)$ 和 $f(i-1,j-1)$ 的值。为了计算 $f(i,j)$，想到使用 $f(i-1,j)$、$f(i,j-1)$ 和 $matrix[i][j]$ 的值。如下图所示：
  
  检索时应利用预处理得到的 $f$ 的值。当 $row1=0$ 且 $col1=0$ 时，$sumRegion(row1,col1,row2,col2)=f(row2,col2)$。

当$row1<=row2$，$col1<=col2$时：

$$sumRegion(row1,col1,row2,col2)=f(row2,col2)-f(row1-1,col2)-f(row2,col1-1)+f(row1-1,col1-1)$$

具体实现时创建$m+1$行$n+1$列的二维数组$sums$，$sums[i+1][j+1]$即计算提到的$f(i,j)$。

复杂度分析

1. 时间复杂度：
   初始化 O(mn)，每次检索 O(1)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix 的行数和列数。
   初始化需要遍历矩阵 matrix 计算二维前缀和，时间复杂度是 O(mn)。每次检索的时间复杂度是 O(1)。

2. 空间复杂度：
   O(mn)，其中 m 和 n 分别是矩阵 matrix 的行数和列数。需要创建一个 m+1 行 n+1 列的二维前缀和数组 sums。

代码实现（Python）

class NumMatrix:

    def __init__(self, matrix: List[List[int]]):
        row, col = len(matrix), (len(matrix[0]) if matrix else 0)
        self.sums = [[0] * (col+1) for _ in range(row+1)]
        _sums = self.sums
        for r in range(row):
            for c in range(col):
                _sums[r+1][c+1] = _sums[r][c+1] + _sums[r+1][c] - _sums[r][c] + matrix[r][c]

    def sumRegion(self, row1: int, col1: int, row2: int, col2: int) -> int:
        _sums = self.sums
        return _sums[row2+1][col2+1] + _sums[row1][col1] - _sums[row1][col2+1] - _sums[row2+1][col1]


# Your NumMatrix object will be instantiated and called as such:
# obj = NumMatrix(matrix)
# param_1 = obj.sumRegion(row1,col1,row2,col2)

Tips

在初始化时就计算好前缀和，不要单独写函数实现，在计算sumRegion时每次反复计算，这样时间复杂度太高，会超时。

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$$Author:Chier$$