位置式PID控制算法

注：本文内容摘自《先进PID控制MATLAB仿真（第4版）》刘金琨 编著，研读此书受益匪浅，感谢作者！

位置式PID控制算法概述：

按模拟PID控制算法，以一系列的采样时刻点$kT$代表连续时间$t$，以矩形法数值积分近似代替积分，以一阶后向差分近似代替微分，即
$$\begin{gathered} t\approx kT(k=0,1,2,3,...) \\ {\int }_0^{t}error(t)dt\approx T\sum _{j=0}^{k}error(jT)=T\sum _{j=0}^{k}error(j) \\ \frac{derror(t)}{dt}\approx \frac{error(kT)-error((k-1)T)}{T}=\frac{error(k)-error(k-1)}{T} \end{gathered}$$
可得离散PID表达式：
$$u(k)=k_p(error(k)+\frac{T}{T_I}\sum _{j=0}^{k}error(j)+\frac{T_D}{T}(error(k)-error(k-1)))$$
$$u(k)=k_{p}error(k)+k_i\sum _{j=0}^{k}error(j)T+k_d\frac{error(k)-error(k-1)}{T}$$
式中，$k_i=\frac{k_p}{T_I};k_d=k_p{T}_D;$T为采样周期；$k$为采样序号，$k=1,2,3,...;$ $error(k-1)和error(k)$分别为第$(k-1)和第k时刻的偏差信号。$
根据实际情况对控制器的输出进行限幅。

简化形式：
$$u(k)\approx k_{p}error(k)+k_i\sum _{j=0}^{k}error(j)+k_d(error(k)-error(k-1))$$