2023牛客暑期多校赛第五场 B.Circle of Mistery

题目大意

给出长度为 $n（1\le n\le 10^3）$ 的数组 $w$ 和 $k(-10^6\le k\le 10^6)$。
要求构造一个排列 $a$ ，连边 $(i,a_i)$，显然的，会构成一个个环，要求至少一个环权值 $w_i$ 之和大于 $k$。
且该排列中逆序数对最少。

题解

最优解及计算方法

显然的，为了使逆序数对最少，
我们仅对一个符合条件的环进行操作。其他的位置 $a_i=i$。
考虑逆序数对最小的情况，
我们构造$p_{a_i}=a_{i+1}(1\le i<siz)p_{siz}=a_1$
$a_1$左边的数或 $a_n$ 右边的数没有贡献，
环里的数除了最右边每个贡献为 $1$ ，
$a_1\le i\le a_n$且不在环中的数贡献为$2$ .
$$ans=siz-1+(n-siz-(a_1-1)-(n-a_n))\ast 2=2\ast (a_n-a_1)-l+1$$

一个性质

若左右皆固定，则个数越多越好。
我们发现在固定左端点时，环中个数固定的情况下，右端点加入该环，造成贡献为 $-1$ 。
所以仅当加入右端点后至少还能使得一个元素加入，
才是一个优秀的解
左端点同理
所以我们可以看出左端点和右端点必大于零。

实现

枚举三个维度复杂度为 $O(N^3)$，被卡掉了。
我们发现有大量重复的计算，考虑使用数据结构优化。
在环中的元素有两类。
①：$w_i>=0$ 一定要加入
②：$w_i<0$，用来凑数的。
想要②类足够多，优先加入权值大的。
确定使用的数据结构为带排序的优先队列。
我们将 $w_i<0$ 的元素加入优先队列 $q1$，每次找到使得当前总值 $>k$ 的数据量。
加入答案队列 $q$。
由于之后可能会出现更大的负权值，所以我们要将预备列和答案队列维护交换一下使得
$q1$ 内的元素严格小于 $q$。

参考代码

#include
using namespace std;
const int N=1e3+5,M=2e6+5;
const int inf=2e6;
int f[N];
priority_queue<int> q,q1;
int n,m,Ans=inf,tot;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&f[i]);
        if(f[i]>=m)
            tot=1;
    }
    if(tot)
    {
        puts("0");
        return 0;
    }
    for(int l=1;l<=n;l++)
    {
        while(q.size())
            q.pop();
        while(q1.size())
            q1.pop();
        int ans=0,siz=0;
        if(f[l]>0)
            for(int r=l;r<=n;r++)
            {
                if(f[r]>0)
                {
                    siz++;
                    ans+=f[r];
                    int A=ans-m,c=siz;
                    if(A<0)
                        continue;
                    while(q1.size() && q.size() && q1.top()>-q.top())   //q中数据加负号使得栈顶为最小元素
               		{                                                     //维护答案队列
                        int a=q1.top();
                        int b=q.top();
                        q1.pop();
                        q.pop();
                        q.push(-a);
                        q1.push(-b);
                        A+=b;
                        A+=a;
                    }
                    while(q1.size() && A+q1.top()>=0)    //加入新答案
                    {
                        int a=q1.top();
                        q1.pop();
                        q.push(-a);
                        A+=a;
                        siz++;
                    }
                    Ans=min(2*(r-l)-siz+1,Ans);
                }
                else
                    q1.push(f[r]);
            }
    }
    if(Ans==inf)              //不存在权值和大于k
        puts("-1");
    else
       printf("%d\n",Ans);
}