快速幂与快速幂求逆元

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取模运算法则

序号	取模概念下的加减乘除	正确性
1	$(a+b)$ % $p=(a$ % $p+b$ % $p)$ % $p$	正确
2	$(a-b)$ % $p=(a$ % $p-b$ % $p)$ % $p$	正确
3	$(a\ast b)$ % $p=[(a$ % $p)\ast (b$ % $p)]$ % $p$	正确
4	$(a/b)$ % $p=[(a$ % $p)/(b$ % $p)]$ % $p$	错误

快速幂

快速幂的定义

快速幂（Fast Power）是一种高效计算乘方的方法，主要用于计算大整数的大幂次方。其基本思想是利用分治思想和乘方的对数规律，将运算复杂度从 $O(n)$ 降低到 $O(\log n)$。

$$a^k=a^{2^{x_1}}\ast a^{2^{x_2}}\ast a^{2^{x_3}}\ast ...=a^{2^{x_1}+2^{x_2}+2^{x_3}+...}$$

快速幂的计算步骤

1. 将指数进行二进制拆分。例如计算 $a^{1}3$，13的二进制为 $1101$，可以拆分为 $1+4+8$。
2. 根据拆分后的指数,将原问题拆分为多个子问题：$a^1,a^4[即(a^2{)}^2],a^8即[(a^4{)}^2]$。
3. 从最低位开始，逐次计算所有的子问题，并依次平方就可以得到最终结果。
4. 在计算过程中记录中间结果，避免重复计算。

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 组 $a_i,b_i,p_i$，对于每组数据，求出 $a_i^{b_i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i$ 的值。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含三个整数 $a_i,b_i,p_i$。

输出格式：
对于每组数据，输出一个结果，表示 $a_i^{b_i}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{p}_i$ 的值。

每个结果占一行。

数据范围：
$1\le n\le 100000,1\le a_i,b_i,p_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

2
3 2 5
4 3 9

输出样例：

4
1

代码实现

模运算的性质：$(a\ast b)$ % $p=(a$ % $p\ast b$ % $p)$ % $p$

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include

using namespace std;

int qmi(int a, int b, int p)
{
	long long res = 1 % p; // 防止 p=1 的情况
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * (long long)a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b, p;
		cin >> a >> b >> p;
		cout << qmi(a, b, p) << endl;
	}
	return 0;
}

扩展运用

题目描述：
（$64$位整数乘法）求 $a$ 乘 $b$ 对 $p$ 取模的值。

输入格式：
第一行输入整数 $a$，第二行输入整数 $b$，第三行输入整数 $p$。

输出格式：
输出一个整数，表示 $a\ast b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的值。

数据范围：
$1\le a,b,p\le 10^{18}$

输入样例：

3
4
5

输出样例：

2

思路：
二进制思想。如果直接计算 $a\times b$ 这会爆 long long ，所以采用 类似于快速幂的思想 把 $b$ 作为二进制形式进行处理，然后如果某位上为 $1$ 就加上它 $a\times 2$ 对应的次方，并且每次计算后取模就可以了。

例如：$b=11=(1011{)}_2=23+21+20$，那么 $a\times b=a\times (2^3+2^1+2^0)=8a+2a+a$。

代码实现：

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
using namespace std;

long long mul(int a, int b, int p)
{
	long long res = 0;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = (res + a) % p;
		a = (a % p + a % p) % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	long long a, b, p;
	cin >> a >> b >> p;
	cout << mul(a, b, p) << endl;
	return 0;
}

快速幂求逆元

逆元的定义及计算

若整数 $b,m$ 互质，并且对于任意的整数 $a$，如果满足 $b|a$，则存在一个整数 $x$，使得 $\frac{a}{b}\equiv a\times x(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，则称 $x$ 为 $b$ 的模 $m$ 乘法逆元，记为$b^{-1}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$。

$b$ 存在乘法逆元的充要条件是 $b$ 与模数 $m$ 互质。

同时可以写作为 $b\ast b^{-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

当模数 $m$ 为质数时，$b^{m-2}$ 即为 $b$ 的乘法逆元。由欧拉定理 $a^{\phi (m)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$，当 $m$ 为质数时，$\phi (m)=m-1$，则可以配出 $b\ast b^{m-2}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$ 的表达式，即 $b$ 的乘法逆元为 $b^{m-2}$ 。

典型例题

题目描述：
给定 $n$ 组 $a_i,p_i$，其中 $p_i$ 是质数，求 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

输入格式：
第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个数组 $a_i,p_i$，数据保证 $p_i$ 是质数。

输出格式：
输出共 $n$ 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 $a_i$ 模 $p_i$ 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围：
$1\le n\le 10^5,1\le a_i,p_i\le 2\times 10^9$

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

代码实现

#define _CRT_NO_SECURE_WARNINGS
#include
using namespace std;
int qmi(int a, int b, int p)
{
	int res = 1 % p;
	while (b)
	{
		if (b & 1) res = res * a % p;
		a = a * (long long)a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, p;
		cin >> a >> p;
		int res = qmi(a, p - 2, p);
		if (res % p == 0) cout << "impossible" << endl;
		else cout << res << endl;
	}
	return 0;
}