美赛模型笔记（一）

一、层次分析法

描述：
建模比赛中最基础的模型之一，主要用于解决评价类问题。

1、一致矩阵的特点：隔行（各列）之间成倍数关系；
2、正互反矩阵：矩阵中Aij >0 ，且满足Aij × Aji = 1，则称该矩阵为正互反矩阵
3、一致矩阵：在层次分析法中，我们构造的判断矩阵为正互反矩阵，若正互反矩阵满足Aij × Ajk = Aik，则称为一致矩阵，***要注意的是***在使用矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验。

4、引理：

举一个3*3判断矩阵的例子

判断矩阵越不一致时，最大特征值与N相差的就越大（检验时就是看最大特征值和N相差的有多大）

5、一致性检验的步骤（允许不一致，但是要确定不一致的允许范围）
1)、计算一致性指标 （其中rmax为判断矩阵的最大特征值）

2)、查找相对应的平均随机一致性指标RI（在实际运用中，N很少超出10，如果指标的个数大于10，则可以考虑建立二级随机指标体系）

3)、计算 一致性比例CR = CI/RI
判断标准：
如果CR <0.1，则可以认为判断矩阵的 一致性可以接受；CR >=0.1,判断矩阵不一致，需要对判断矩阵进行修正***（要注意：权重要进行归一化处理）***

6、判断矩阵怎么计算权重？
也是要进行归一化处理，但是判断矩阵它不一定会是完全一致矩阵，所以不能用比例计算
方法一：算术平均法求权重
（数学式表达）

方法二：几何平均法求权重
和算术平均法求权重相类似，不过是行与行之间的累乘，然后再做归一化。（权重和应为1，但是由于四舍五入的影响可能会有写差距）

方法三：特征值法求权重： （使用最多）
一致矩阵有一个特征值为N，其余特征值均为0，另外，我们很容易得到，特征值为N时，对应的特征向量刚好为K[1/A11,1/A12,…1/A1N] （K！=0），由于一致矩阵就是一个正互反矩阵，则这一特征向量刚好就是一致矩阵的第一列。要注意的时权重一定要进行归一化处理，而特征值求权重就是在模仿一致矩阵的过程。

说白了就是用最大特征值对应的特征向量来代表权重

7、总结一下运用层次分析法的流程
（1）建立层次结构
目标层、准则层、方案层
例如：

（2）依照某一种准则为判断依据进行两两比较得出判断矩阵

（3）对判断矩阵进行一致性检验
计算最大特征值，计算出CI，最后计算出CR

如果通过了一致性检验，则开始计算权重，否则需要对判断矩阵进行修正（怎么修正？就是网一致矩阵方向靠）
（4）计算权重
三种方法：算术平均、几何平均、特征值
（5）根据权重计算得分

7、层次分析法的一个局限性
1)评价的决策层不能太多，太多的话N会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大，而且平均随机指标RI的表格中N最多为15.
2)层次分析法中构建判断矩阵时两两进行比较时，较于主观。

TOPSIS法

描述：
一种常用的而综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，结果能精确的反应个评价之间的差距，获得各评价对象与最优方案和最劣的相对接近程度，以此来作为评价优劣的依据。

TOPSIS的使用步骤：
1、正向化
将所有的指标都转化为极大型指标（越大越好）

介绍一下几种指标：
*极大型指标：*越大越好，比如说成绩越大越好
*极小性指标：*越小越好，比如说生产的成本越小越好

*中间型指标：*越接近某个值越好，例如水质量的PH值

区间型指标：落在某个区间越好，例如体温

2、正向化矩阵标准化
为了消去不同指标纲量的影响（比如单位不同，有一些指标的单位是分，有一些是次数），需要对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
标准化处理的计算公式

3、计算得分并归一化
当对象只有一个评价指标时，计算得分：

当对象有多个评价指标时，类比只有一个指标的时候：

最后得出的Si是未经过归一化的，请记得归一化后的数据才能作为最后得分。

4、拓展：带权重的TOPSIS
此时权重由层次分析法得出：

此时指标计算得分：

同样，最后得出的Si是未经过归一化的，请记得归一化后的数据才能作为最后得分。
若TOPSIS模型带上权重后是使用层次分析法来得出，而层次分析法的最大缺点就是判断矩阵的确定过于以来专家，若果专家的判断存在主观性的话，会对结果产生很大的影响（主观性太强）

番外：所以需要采用熵权法对TOPSIS模型进行修正

熵权法

描述：
熵权法是一种客观赋权的方法。
**依据的原理：**指标的变异程度越小，所反映的信息量也就越少，其对应的权值也应该越低（客观 = 数据本身就可以告诉我们权重）
（举一个极端的例子：对于所有的样本而言，这个 指标都是相同的数值，那么可以认为这个指标的权值为0，也就是说这个指标对于我们的评价不起到任何的帮助）

如何多量信息量的大小？
我们使用概率去描述衡量事件发生的可能性
那么如何度量信息量的大小？

信息熵的定义

熵权法的计算步骤

（1）判断输入和矩阵中是否存在负数？如果有负数需要重新标准化

（2）计算指标下样本所占的比重，并将其看作相对熵计算中用到的概率

（3）计算每个指标的信息熵，计算信息有效值，归一化得到每个指标的熵权

最后计算出的信息有效值要记得归一化后才是每个指标的熵权（权重）。