离散数学之图论复习笔记

图论

7.1 图的基本概念

图的定义

一个图G是一个序偶〈V(G),E(G)〉，记为G＝〈V(G),E(G)〉。其中V(G)是非空结点集合，E(G)是边集合，对E(G)中的每条边，有V(G)中的结点的有序偶或无序偶与之对应。

图G的结点与边之间的关系

• 邻接点:同一条边的两个端点。
• 孤立点:没有边与之关联的结点。
• 邻接边:关联同一个结点的两条边。
• 孤立边:不与任何边相邻接的边。
• 自回路(环)：关联同一个结点的一条边((v,v)或)。
• 平行边(多重边):关联同一对结点的多条边。

图的分类

1. 按G的结点个数和边数分为**(n,m)图**,即n个结点,m条边的图;

   特别地,(n,0)称为零图,(1,0)图称为平凡图。

2. 按G中关联于同一对结点的边数分为多重图和简单图；

   多重图:含有平行边的图.

   简单图:不含平行边和自环的图。

3. 按G的边有序、无序分为有向图、无向图和混合图;

   有向图：每条边都是有向边的图称为有向图；

   无向图：每条边都是无向边的图称为无向图；

   混合图：既有无向边，又有有向边的图称为混合图。

4. 按G的边旁有无数量特征分为边权图、无权图;

5. 按G的任意两个结点间是否有边分为完全图Kn

• 完全图：n个顶点的完全图记作K。是在每对不同顶点之间都恰有一条边的简单图。

$$\frac{n(n-1)}{2}$$

• 圈图：圈图C_n(n≥3)是由n个顶点v₁,v₂, … , v_n以及边{v₁,v₂}, {v₂,v₃}, … , {v_n-1,v_n},{v_n,v₁}组成的。

• 轮图：当给圈图C_n, n≥3,添加另一个顶点，并把这个新顶点与C_n中的n个顶点逐个连接时，就得到轮图W_n。

• n立方体图：n立方体图记作Q_n，是用顶点表示2ⁿ个长度为n的位串的图。两个顶点相邻，当且仅当它们所表示的位串恰恰有一位不同。

• 二分图：若把简单图G的顶点集分成两个不相交的非空集合V₁和V₂,使得图中的每边都连接V₁中的一个顶点与V₂中的一个顶点(因此G中没有边连接V₁中的两个顶点或V₂的两个顶点)，则G称为二分图。当此条件成立时，称(V₁,V₂)为G的顶点集的二部划分。

通俗理解：可以分为两个集合，两个集合中的每个点互不直接相连

• 完全二分图：完全二分图完全二分图K_m,n 是顶点集划分成分别含有m和n个顶点的两个子集的图，并且两个顶点之间有边当且仅当一个顶点属于第一个子集而另一个顶点属于第二个子集。

通俗理解：在二分图的基础上，每个结点都连接另一个集合

• 补图：设G=是一个具有n个结点的简单图。以V为结点集，以从完全图K_n中删去去G的所有边后得到的图（或由G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图）称为G的补图，记为。
• 零图和完全图互为补图

图的结点的度数及其计算

• 度数：图中结点v所关联的边数（有自回路时计算两次）,记为deg(v)

定理7.1.1：图G=中结点度数的总和等于边数的两倍，即：
$$\sum dev(v)=2|E|$$
证明：因为每条边都与两个结点关联，所以加上一条边就使得各结点度数的和增加2。

推论：图G中度数为奇数的结点必为偶数个。

有向图中

• 入度：射入结点v的边数称为结点v的入度，记为
• 出度：由结点v射出的边数称为结点v的出度，记为
• 度数：结点v的入度+出度

定理7.1.2：在任何有向图G=中，有
$$\sum deg(v)=\sum deg(v)=|E|$$

• 子图：设有图G＝和图G′＝。
  1. 若 $V^{\prime }\subseteq V$​​​​，$E^{\prime }\subseteq E$​​​​，则称G′ 是G的子图。
  2. 若G′是G的子图，且$E^{\prime }\ne E$​​，则称G′是G的真子图。
  3. 若$V^{\prime }=V，$$E^{\prime }\subseteq E$​​​​，则称G′是G的生成子图。

图的同构

• 图的同构：从图的定义可以看出，图的最本质的内容是结点与结点的邻接关系。一个图可以用几种不同形状的图形表示。

• 定义：设有图G＝和图G′＝。如果存在双射ｇ：V→V′，使得e＝(u,v)∈E, e′＝(ｇ(u),ｇ(v))∈E′，且(u,v)与(ｇ(u)，ｇ(v))有相同的重数，则称G与G′同构。记作G≌G′。

7.2 路与回路

路与回路

• 路：给定图G＝,设v₀,v₁,…,v_k∈V，e₁,e₂,…,e_k∈E，其中e_i是关联于结点v_i-1和v_i的边，称交替序列v₀e₁v₁e₂…e_kv_k为连接v₀到v_k的路，v₀和v_k分别称为路的起点与终点。

• 路的长度：路中边的数目k称作路的长度

• 回路：当v₀=v_k时,这条路称为回路

• 简单图：一条路v₀e₁v₁e₂…e_kv_k，可以表示为v₀v₁…v_k

设μ＝*v₀*e₁*v₁*e₂…e_kv_k是图G中连接v₀到v_k的路

• 迹：若e₁,e₂,…,e_k都不相同，则称路μ为迹。

• 通路：若*v₀,*v₁,…,v_k都不相同，则称路μ为通路。

• 图：长度大于２的闭的通路(即除v₀＝v_k外，其余结点均不相同的路)μ称作圈

• 距离：在图G中，若结点v_i到v_j有路连接（这时称v_i和v_j是连通的），其中长度最短的路的长度称为v_i到v_j的距离，用符号d(v_i,v_j)表示。若从v_i到v_j不存在路径,则d(v_i,v_j)=∞。

图的连通性

1. 无向图的连通性
   • 在无向图如果一个图的任何两个结点之间都有一条路，那么我们称这个图是连通的，否则是不连通的。
   • 图G的一个连通的子图G′（称为连通子图）若不包含在G的任何更大的连通子图中，它就被称作G的连通分支。我们把图G的连通分支数记作W（G）。
2. 有向图的连通性
   • 在有向图中,如果若从结点u到v有一条路，则称u可达v。
   • 设有有向图图G
     1. 若G的任意两个结点中,至少从一个结点可达另一个结点,则称图G是单向连通的;
     2. 如果G的任意两个结点都是相互可达的,则称图G是强连通的;
     3. 如果略去边的方向后，G成为连通的无向图，则称图G是弱连通的。
   • 强联通 > 单向联通 > 弱连通
   • 一个有向图G是强联通的，当且仅当G中有一个（有向）回路，它至少包含每个结点一次。
   • 在有向图G=〈V,E〉中,G′是G的子图,若G′是强连通的(单向连通的,弱连通的),没有包含G′的更大子图G″是强连通的(单向连通的,弱连通的),则称G′是G的强分图(单向分图,弱分图)。

例子：

在下图中,

强分图集合是：{{1,2,3}, {4}, {5}, {6},{7,8}}

单向分图集合是：{{1,2,3,4,5},{6,5},{7,8}}

弱分图集合是：{{1,2,3,4,5,6}, {7,8}}

• 割点：无向图G=为连通图，若有非空点集$V_1\subseteq V$​​​​，使图G删除V₁中的所有点后，所有子图不连通，而删除V₁的任何真子集后，所得子图仍为连通图，称V₁是G的一个点割集，若某个结点构成一个点割集，称该点为割点。

• 边割集：删除该集合中的边，图不连通。若某一边构成边割集，则称该边为割边（或桥）。

7.3 图的矩阵表示

邻接矩阵

• 设G是具有n个结点｛v₁,v₂,…,v_n｝的图，其邻接矩阵为A，则A^k（k＝1，2，…）的（i，j）项元素a^(k)_ij是从v_i到v_j的长度等于k的路的总数。
• 
• a_rj是联结v_r和v_j的长度为1的路数目
• a^(l)_ij是联结v_i和v_j的长度为l的路数目

可达性矩阵

• 设G＝〈V,E〉是一个有n个结点的有向图，则n阶方阵P＝（p_ij）称为图G的可达性矩阵

7.4 欧拉图与汉密尔顿图

欧拉图

• 给定无孤立结点的图G，若存在一条经过G中每边一次且仅一次的回路，则该回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。

• 充要条件：G的所有结点的度数都是偶数。

• 欧拉路：通过图G的每条边一次且仅一次的路称为图G的欧拉路

• 半欧拉图：有欧拉通路，无欧拉回路。

• 推论：一个多重连通图G有欧道路的充要条件是G中有且仅有有两个奇点。（从一个奇点到另一个奇点）

寻找欧拉回路：可以通过寻找回路，找公共顶点寻找

汉密尔顿图

• 周游世界问题：能否找到一条旅行路线，使得沿着该旅行路线经过每座城市恰好一次，再回到原来的出发地呢？

• 汉密尔顿图：给定图G，若有一条路通过G中每个结点恰好一次，则这样的路称为汉密尔顿路；若有一个圈，通过G个每个结点恰好一次，这样的圈称为汉密尔顿回路（或汉密尔顿圈）。具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图。

• 必要条件：设图G＝〈V,E〉是汉密尔顿图，则对于V的每个非空子集S，均有$W(G－S)\le |S|$​​​​​成立，其中W（G－S）是图G－S的连通分支数。

• 充分条件：图中任意不同两点的度数之和大于等于n。

平面图

• 平面图：如果能把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边除公共结点外没有其他交叉点，则称G为平面图，否则称G为非平面图。

• 面：设G是一个平面图，由图中的边所包围的其内部不包含图的结点和边的区域，称为G的一个面。

• 边界：包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界。

• 度：面r的边界的长度（边数）称为该面的度，记为D®。

• 有限面：区域面积有限的面；无限面：区域面积无限的面

• 平面图有且仅有一个无限面

• 在一个平面图中，所有面度之和等于图中边数的二倍

• 欧拉公式Euler公式：设G为n结点m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=2。

• 对于简单极大平面图，3n=2m（每个面由3条边组成，一边被2个面共享），代入得m=3n-6

• 对于具有k个连通分支的平面图G，有n-m+f=k+1

着色法

• 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图
  G如下：
  1. 在G的面R中放置G的顶点
  2. 若G中的边e在G的面R与R的公共边界上,做G的边e与e相交,即e=(v_i,v_i),且e*不与其它任何边相交；