【数理知识】求刚体旋转矩阵和平移矩阵，已知 N＞=3 个点在前后时刻的坐标，且这 N＞=3 点间距离始终不变代表一个刚体
| 序号 | 内容 |
|---|---|
| 1 | 【数理知识】自由度 degree of freedom 及自由度的计算方法 |
| 2 | 【数理知识】刚体 rigid body 及刚体的运动 |
| 3 | 【数理知识】刚体基本运动，平动，转动 |
| 4 | 【数理知识】向量数乘，内积，外积，matlab代码实现 |
| 5 | 【数理知识】协方差，随机变量的的协方差，随机变量分别是单个数字和向量时的协方差 |
| 6 | 【数理知识】已知 N>=3 个点在前后时刻的坐标，求刚体平移矩阵，旋转矩阵，且这 N>=3 点间距离始终不变代表一个刚体 |
文章目录
- 1 解决流程
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- 1. 找寻质心（Centroid）
- 2. 奇异值分解（SVD）
- 3. 通过协方差矩阵得到旋转矩阵
- 4. 计算平移矩阵
- 2 举例验证 1
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- 1. 找寻质心（Centroid）
- 2. 计算协方差矩阵
- 3. 奇异值分解
- 4. 计算平移矩阵
- Ref
存在有 N ≥ 3 N\ge 3 N≥3 个点，它们两两之间距离始终不变，这就满足了可代表一个刚体的条件。同时，已知这 N ≥ 3 N\ge 3 N≥3 个点在前后时刻的坐标，如何求对应刚体的平移矩阵，旋转矩阵？
如下图所示，对应点的颜色相同， R R R 是旋转， t t t 是平移。我们希望找到能将数据集 A A A 中的点对齐到数据集 B B B 的最佳旋转和平移。这种变换有时被称为欧几里得变换（Euclidean）或刚性变换（Rigid transform），因为它保留了形状和大小。这与仿射变换不同，后者包括缩放和剪切。
这个问题尤其出现在三维点云数据注册等任务中，因为这些数据是从三维激光扫描仪或流行的 Kinect 设备等硬件中获取的。
接下来的描述中，我们为了和图中情况保持一致，我们都假设 N = 3 N = 3 N=3。
1 解决流程
旋转和平移的方程式可以表示为如下形式：
R A + t = B \begin{aligned} RA + t = B \end{aligned} RA+t=B
最终目的是求取最合适的 R R R 和 t t t。
至于为什么可以这么表示，请参考文章开头所提及到的其他文章。
1. 找寻质心（Centroid）
这一步也比较简单，质心就是 N = 3 N = 3 N=3 个数据点的平均值
Centroid A = 1 3 ∑ k = 1 3 A k Centroid B = 1 3 ∑ k = 1 3 B k \begin{aligned} \text{Centroid}_{A} &= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{3} A_k \\ \text{Centroid}_{B} &= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{3} B_k \end{aligned} CentroidACentroidB=31k=1∑3Ak=31k=1∑3Bk
其中 A k A_k Ak 和 B k B_k Bk 分别表示在数据集 A A A 和 B B B 中第 k k k 个数据点的坐标。
2. 奇异值分解（SVD）
有几种方法可以找到点之间的最佳旋转。最简单的方法是使用奇异值分解（SVD），因为许多编程语言（Matlab、Octave、使用 LAPACK 的 C 语言、使用 OpenCV 的 C++ 语言…）都可以使用这个函数。SVD 就像线性代数中的一根神奇魔杖，可以解决各种数值问题。这里不会详细介绍它的工作原理，而会介绍如何使用它。你只需要知道，SVD 可以将一个矩阵（称作 E E E）分解/因式分解为另外 3 个矩阵，即
[ U , S , V ] = SVD ( E ) E = U S V T \begin{aligned} [U, S, V] &= \text{SVD} (E) \\ E &= U S V^\text{T} \end{aligned} [U,S,V]E=SVD(E)=USVT
如果 E E E 是方阵，那么 U 、 S U、S U、S 和 V V V 的大小也相同。
3. 通过协方差矩阵得到旋转矩阵
要找到最佳旋转方式，我们首先要重新调整两个数据集的中心，使两个中心点都位于原点，如下图所示。
这样就去除了平移部分，只剩下旋转部分需要处理。下一步是累加一个矩阵（称为 H H H），然后使用 SVD 求出旋转，如下所示：
H = ( A − Centroid A ) ( B − Centroid B ) T [ U , S , V ] = SVD ( H ) R = V U T \begin{aligned} H &= (A - \text{Centroid}_{A})(B - \text{Centroid}_{B})^\text{T} \\ [U, S, V] &= \text{SVD} (H) \\ R &= V U^\text{T} \end{aligned} H[U,S,V]R=(A−CentroidA)(B−CentroidB)T=SVD(H)=VUT
其中， H H H 是我们熟悉的协方差矩阵。 A − Centroid A A - \text{Centroid}_{A} A−CentroidA 是用 A A A 减去 Centroid A \text{Centroid}_{A} CentroidA 中的每一列的操作。
需要注意的一点是，要正确计算 H H H。它最终应该是一个 3 × 3 3 \times 3 3×3 矩阵，而不是一个 N × N N \times N N×N 矩阵（这里 N N N 是指点的数量，而 3 3 3 是指数据的坐标 [ x , y , z ] [x,y,z] [x,y,z] 维度是 3 3 3）。注意转置符号。它是在两个矩阵之间进行乘法运算，这两个矩阵的实际维数分别是 3 × N 3 \times N 3×N 和 N × 3 N \times 3 N×3。乘法的顺序也很重要，如果换一种方法，就会变成是从 B B B 到 A A A 的旋转。
4. 计算平移矩阵
得到旋转矩阵 R R R 后，平移矩阵 t t t 也就变得简单了。把质心代入开篇咱们提到的方程，那么有
R A + t = B R × Centroid A + t = Centroid B t = Centroid B − R × Centroid A \begin{aligned} RA + t &= B \\ R \times \text{Centroid}_A + t &= \text{Centroid}_B \\ t &= \text{Centroid}_B - R \times \text{Centroid}_A \end{aligned} RA+tR×CentroidA+tt=B=CentroidB=CentroidB−R×CentroidA
2 举例验证 1
假设有 3 3 3 个相对位置保持不变的点，已知它们在数据集合 A A A 和数据集合 B B B 中的位置，然后计算旋转矩阵 R R R 和平动矩阵 t t t。
在数据集合 A A A 中：
点 1 1 1 的位置为： A 1 = ( 1 , 2 , 3 ) A_1 = (1, 2, 3) A1=(1,2,3)；
点 2 2 2 的位置为： A 2 = ( 4 , 5 , 6 ) A_2 = (4, 5, 6) A2=(4,5,6)；
点 3 3 3 的位置为： A 3 = ( 7 , 8 , 9 ) A_3 = (7, 8, 9) A3=(7,8,9)。
在数据集合 B B B 中：
点 1 1 1 的位置为： B 1 = ( 2 , 3 , 4 ) B_1 = (2, 3, 4) B1=(2,3,4)；
点 2 2 2 的位置为： B 2 = ( 5 , 6 , 7 ) B_2 = (5, 6, 7) B2=(5,6,7)；
点 3 3 3 的位置为： B 3 = ( 8 , 9 , 10 ) B_3 = (8, 9, 10) B3=(8,9,10)。
计算思路为：
- 先计算平移：通过求取这些点在两个时刻的质心位置，然后求差来得到平移矩阵
1. 找寻质心（Centroid）
这一步也比较简单，直接代入样本数据
Centroid A = ( 1 + 4 + 7 , 2 + 5 + 8 , 3 + 6 + 9 ) 3 = ( 1 + 4 + 7 3 , 2 + 5 + 8 3 , 3 + 6 + 9 3 ) = ( 4 , 5 , 6 ) Centroid B = ( 2 + 5 + 8 , 3 + 6 + 9 , 4 + 7 + 10 ) 3 = ( 2 + 5 + 8 3 , 3 + 6 + 9 3 , 4 + 7 + 10 3 ) = ( 5 , 6 , 7 ) \begin{aligned} \text{Centroid}_{A} &= \frac{(1+4+7, 2+5+8, 3+6+9)}{3} = (\frac{1 + 4 + 7}{3}, \frac{2 + 5 + 8}{3}, \frac{3 + 6 + 9}{3}) = (4, 5, 6) \\ \text{Centroid}_{B} &= \frac{(2+5+8, 3+6+9, 4+7+10)}{3} = (\frac{2 + 5 + 8}{3}, \frac{3 + 6 + 9}{3}, \frac{4 + 7 + 10}{3}) = (5, 6, 7) \end{aligned} CentroidACentroidB=3(1+4+7,2+5+8,3+6+9)=(31+4+7,32+5+8,33+6+9)=(4,5,6)=3(2+5+8,3+6+9,4+7+10)=(32+5+8,33+6+9,34+7+10)=(5,6,7)
2. 计算协方差矩阵
根据公式
Cov ( X , Y ) i j = ∑ k n = 3 ( x k i − x ˉ i ) ( y k j − y ˉ i ) n − 1 \begin{aligned} \text{Cov} (X,Y)_{ij} &= \frac{\sum_k^{n=3} (x_{ki} - \bar{x}_i)(y_{kj} - \bar{y}_i)}{n-1} \end{aligned} Cov(X,Y)ij=n−1∑kn=3(xki−xˉi)(ykj−yˉi)
可以得到协方差矩阵
Cov ( X , Y ) = [ 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ] \begin{aligned} \text{Cov} (X,Y) &= \left[\begin{matrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ \end{matrix}\right] \end{aligned} Cov(X,Y)= 333333333
关于协方差矩阵的原理和求解方法，可参考文章：【数理知识】协方差，随机变量的的协方差，随机变量分别是单个数字和向量时的协方差。
3. 奇异值分解
可以直接使用 Matlab 进行奇异值分解，可以得到
U = [ − 0.5774 0.8165 − 0.0000 − 0.5774 − 0.4082 − 0.7071 − 0.5774 − 0.4082 0.7071 ] , S = [ 9 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , V = [ − 0.5774 0.8165 0 − 0.5774 − 0.4082 − 0.7071 − 0.5774 − 0.4082 0.7071 ] U = \left[\begin{matrix} -0.5774 & 0.8165 & -0.0000 \\ -0.5774 & -0.4082 & -0.7071 \\ -0.5774 & -0.4082 & 0.7071 \\ \end{matrix}\right], S = \left[\begin{matrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right], V = \left[\begin{matrix} -0.5774 & 0.8165 & 0 \\ -0.5774 & -0.4082 & -0.7071 \\ -0.5774 & -0.4082 & 0.7071 \\ \end{matrix}\right] U= −0.5774−0.5774−0.57740.8165−0.4082−0.4082−0.0000−0.70710.7071 ,S= 900000000 ,V= −0.5774−0.5774−0.57740.8165−0.4082−0.40820−0.70710.7071
R = V U T = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] R = V U^\text{T} = \left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\right] R=VUT= 100010001
至此得到了旋转矩阵。
4. 计算平移矩阵
t = Centroid B − R × Centroid A = ( 1 , 1 , 1 ) \begin{aligned} t &= \text{Centroid}_B - R \times \text{Centroid}_A &= (1, 1, 1) \end{aligned} t=CentroidB−R×CentroidA=(1,1,1)
Ref
- FINDING OPTIMAL ROTATION AND TRANSLATION BETWEEN CORRESPONDING 3D POINTS
- 从3组对应点中求得最佳的旋转和平移变换