【学习笔记】[ARC089F] ColoringBalls

毒瘤题

发现操作序列的长度只和$B$的数目有关，并且操作序列一定形如$rb???...$的形式，这个不太好证

考虑暴力$DP$的本质

记$B$的数目为$k_i$，发现应该按$k_i$从大到小加入，过程中 维护$b$的匹配情况，这样转移是$O(1)$的

发现这样处理不了最后一段的情况，交上去$wa$了一半

发现可以枚举$k_i=0$的数目$x_1$以及$k_i\ge 1$的数目$x_2$，然后把前$x_1+x_2$个$a$删掉，转移第$i$段的时候就对第$i$个$b$和第$i+1$个$b$中间的部分去匹配$?$就好了。有点抽象

这个做法常数非常小。所以肯定是可以通过的。

这个做法复杂度$O(n^6\log n)$。

考虑这个做法的本质

发现只用枚举$x_1+x_2$就好了，这样优化到了$O(n^5\log n)$。

应该有更加高妙的贪心，但是我太菜了完全想不出来。

#include
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,K;
string str;
ll fpow(ll x,ll y=mod-2){
    ll z(1);
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1)z=z*x%mod;
        x=x*x%mod;
    }return z;
}
ll fac[75],inv[75],invnum[75];
void init(int n){
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=fpow(fac[n]);for(int i=n;i>=1;i--)inv[i-1]=inv[i]*i%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++)invnum[i]=inv[i]*fac[i-1]%mod;
}
void add(ll &x,ll y){
    x=(x+y)%mod;
}
int sum[75],sum2[75],rk[75],rk2[75],sum3[75],cnt;
unordered_map<int,ll>dp[75][75][75];
ll binom(int x,int y){
    if(x<0||y<0||x<y)return 0;
    return fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int calc(int x,int y){
    return x*75+y;
}
ll dfs(int i,int j,int k,int l,int x){
    if(j>n+1)return 0;int tmp=calc(l,x);
    if(dp[i][j][k].find(tmp)!=dp[i][j][k].end())return dp[i][j][k][tmp];
    if(k==cnt){
        if(l>=0)return binom(n+1,j);
        return 0;
    }
    if(i==0)return 0;
    ll res=0;
    //不选
    add(res,dfs(i-1,j,k,l,0));
    //选
    int tot=sum3[rk2[k+2]]-sum3[rk2[k+1]];
    add(res,dfs(i,j+2*i-1,k+1,min(0,l-i+tot),x+1)*invnum[x+1]);
    add(res,dfs(i,j+2*i,k+1,min(0,l-i+tot),x+1)*invnum[x+1]*2);
    add(res,dfs(i,j+2*i+1,k+1,min(0,l-i+tot),x+1)*invnum[x+1]);
    return dp[i][j][k][tmp]=res;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>K>>str,init(n+1);
    for(int i=1;i<=K;i++){
        sum[i]=sum[i-1],sum2[i]=sum2[i-1];
        if(str[i-1]=='r')sum[i]++,rk[sum[i]]=i;
        else sum2[i]++;
    }ll res=0;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=sum2[K]&&i+j<=min(n,sum[K]);j++){
            int x=1;
            for(int k=1;k<=K;k++){
                if(str[k-1]=='b'&&x<=j&&k>rk[x])rk2[x++]=k;
                sum3[k]=sum3[k-1];if(str[k-1]=='b'||sum[k]>i+j)sum3[k]++;
            }if(x<=j)continue;rk2[x]=K+1;sum3[K+1]=sum3[K]+1;
            for(int k=1;k<=n;k++){
                for(int l=0;l<=n+1;l++){
                    for(int m=0;m<=j;m++){
                        dp[k][l][m].clear();
                    }
                }
            }
            cnt=j,add(res,dfs(n,cnt+2*i,0,0,0)*fac[i+j]%mod*inv[i]%mod);
        }
    }cout<<res;
}