[区间DP]石子合并极其变种问题（环形，40000堆型）P1880 [NOI1995]石子合并+[Sdoi2008]石子合并/poj1738An old Stone Game
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规则如下：
(1)每次只能移动任意相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆总花费,要求N<=300。
变形一：(2)每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）要求N<=40000。
变形二：(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，石子改为环形排列
题目：
题目限制
| 时间限制 | 内存限制 | 评测方式 | 题目来源 |
| 1000ms | 256000KiB | 远程评测 | CodeVS |
题目描述 Description
在一个操场上摆放着一排N堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将N堆石子合并成一堆的最小得分。
输入描述 Input Description
第一行是一个数N。
以下N行每行一个数A，表示石子数目。
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 50005;
int stone[N];
int n,t,ans;
void combine(int k)
{
int tmp = stone[k] + stone[k-1];
ans += tmp;
for(int i=k;i0 && stone[j-1] < tmp;j--)
stone[j] = stone[j-1];
stone[j] = tmp;
while(j >= 2 && stone[j] >= stone[j-2])
{
int d = t - j;
combine(j-1);
j = t - d;
}
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(n == 0) break;
for(int i=0;i= 3 && stone[t-3] <= stone[t-1])
combine(t-2);
}
while(t > 1) combine(t-1);
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
输出描述 Output Description
共一个数，即N堆石子合并成一堆的最小得分。
样例输入 Sample Input
4
1
1
1
1
样例输出 Sample Output
8
数据范围及提示 Data Size & Hint
对于 30% 的数据，1≤N≤100
对于 60% 的数据，1≤N≤1000
对于 100% 的数据，1≤N≤40000
对于 100% 的数据，1≤A≤200
题目描述
在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。
试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.
区间DP 做法（要求N<=300）算法复杂度O(N^3):
#include
#include
#include
#include
#include
#include 进行四边形优化，原状态转移方程中的k的枚举范围便可以从原来的(i~j-1)变为(s[i,j-1]~s[i+1,j])。算法复杂度进一步接近O(n^2)（逃~~~ ε=ε=ε=┏(゜ロ゜;)┛；
可以优化为O（N^2）的时间复杂度的情况,
From 黑书
凸四边形不等式：w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]（a
区间包含关系单调: w[b][c]<=w[a][d]（a
定理1： 如果w同时满足四边形不等式和决策单调性 ,则f也满足四边形不等式
定理2： 若f满足四边形不等式，则决策s满足 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
定理3： w为凸当且仅当w[i][j]+w[i+1][j+1]<=w[i+1][j]+w[i][j+1]
简要证明：
若w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d]，归纳证明f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]
设f[a][d]最优决策是在s取到,f[b][c]最优决策在t取到,设s
可知a
f[a][c]+f[b][d]<=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][c] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][d]
=f[a][s]+f[s+1][c]+w[a][d] + f[b][t]+f[t+1][d]+w[b][c]
<=f[a][s]+w[a][d]+f[s+1][d] + f[b][t]+w[b][c]+f[t+1][c] 归纳得到 sc+td
=f[a][d]+f[b][c]
得证.
若f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d],则s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
仅证s[i][j-1]<=s[i][j],右边同理
记f_k[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]
记s点为[i,j]最优点,t点为[i,j+1]最优点,
则只需证明 在[i,j+1]决策时, 取s点能够比取在k∈[i,s-1]的点更优即可
即证明 f_s[i,j+1]<=f_k[i,j+1]
又因为f_s[i,j]<=f_k[i,j]
只需证明 0 <= f_k[i,j] - f_s[i,j] <= f_k[i,j+1] - f_s[i,j+1]
可发现右边即 f_k[i,j] + f_s[i,j+1] <= f_k[i,j+1] + f_s[i,j]
展开后即： f[k][j] + f[s][j+1] <= f[k][j+1] + f[s][j]
正是 k
得证.
一般利用定理3证明凸函数，然后利用定理2的结论 s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j]
就能够使得复杂度由O(n^3)降低为O(n^2)
详细证明参见《动态规划算法的优化技巧》--毛子青（会因为论文用i,j,i',j'搞得雾水，但是慢慢推一下就能够出来）
#include
#include
#include
#include
#include
#include
但是当题目 N<=40000时，朴素DP不能用了。需要GarsiaWachs算法，不会证明，直接看说步骤：以下步骤和实例为抄袭
https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18043897
设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。
举个例子：
186 64 35 32 103
因为35<103，所以最小的k是3，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，现在k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大）234 186，最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。
基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。
输入输出格式
输入格式：
数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.
输出格式：
输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分.
输入输出样例
输入样例#1： 复制
4
4 5 9 4输出样例#1： 复制
43
54环形的石子合并，想象一排有2N堆的石子，在这个2N的链条上，使其[i~i+N-1]合并成一个顶点就可以了；转移方程如下
#include
#include
#include
#include
#include
#include