题解 | #C.idol!!# 2023牛客暑期多校6

C.idol!!

数学

题目大意

正整数 $n$ 的双阶乘 $n!!$ 表示不超过 $n$ 且与 $n$ 有相同奇偶性的所有正整数乘积
求对于给定 $n$ ，$\prod _{i=1}^{n}i!!$ 的后缀 $0$ 个数

解题思路

根据双阶乘的性质，可以得到： $(n-1)!!\times n!!=n!$
因此对于给定的 $n$ ，原式可化为：
$$\prod _{i=1}^{n}i!!=\{\begin{array}{ll}\prod _{i=1}^{\frac{n}{2}}(2i)!& ,n为偶数\\ \prod _{i=1}^{\frac{n+1}{2}}(2i-1)!& ,n为奇数\end{array}$$
显而易见的，阶乘中因子 $2$ 的个数一定多于因子 $5$ 的个数，因此题目等价于求上式中因子 $5$ 的个数//

考虑某单一阶乘 $n!$ 中所含因子 $5$ 的个数。
可以发现，每个 $5$ 的倍数项会提供 $1$ 个因子 $5$ ，共有 $\lfloor \frac{n}{5}\rfloor$ 项
除此之外每个 $25=5^2$ 的倍数项会额外提供一个因子 $5$ ，共有 $\lfloor \frac{n}{5^2}\rfloor$ 项
再除此之外每个 $125=5^3$ 的倍数项会额外提供一个因子 $5$ ，共有 $\lfloor \frac{n}{5^3}\rfloor$ 项……
因此对于单一阶乘 $n!$ ，其提供因子 $5$ 的数量 $cn{t}_5=\sum _{i=1}^N\lfloor \frac{n}{5^i}\rfloor (5^N>n)$

接着考虑连乘积中因子 $5$ 个数的总和。
$$ans=\{\begin{array}{ll}\sum _{i=1}^{\frac{n}{2}}\sum _{j=1}^N\lfloor \frac{2i}{5^j}\rfloor =\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{\frac{n}{2}}\lfloor \frac{2j}{5^i}\rfloor & ,n为偶数\\ \sum _{i=1}^{\frac{n+1}{2}}\sum _{j=1}^N\lfloor \frac{2i-1}{5^j}\rfloor =\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^{\frac{n+1}{2}}\lfloor \frac{2j-1}{5^i}\rfloor & ,n为奇数\end{array}$$

对于某一 $i$ ，发现不论 $n$ 的奇偶， $j=1$ 开始的每 $5^i$ 项之和构成公差为 $2\times 5^i$ 的等差数列//
例：$i=1$ ，$n$ 为偶数且足够大时，$\lfloor \frac{2j}{5^i}\rfloor$ 的前 $15$ 项如下，其中每 $5$ 项之和构成公差为 $5\times 2$ 的等差数列： $0,0,1,1,2||2,2,3,3,4||4,4,5,5,6\dots \dots$

经计算，对于某一 $i$ ，等差数列的首项为
$$a_1=\{\begin{array}{ll}\lfloor \frac{5^i}{2}\rfloor +2& ,n为偶数\\ \lfloor \frac{5^i}{2}\rfloor +1& ,n为奇数\end{array}$$

完整的段用等差数列求和，非完整的段手算一下//
​
若此前完整段的数量记为 $m$ ，则非完整段：
前 $\lfloor \frac{5^i}{2}\rfloor$ 项的值为 $2m$ ，
第 $\lfloor \frac{5^i}{2}\rfloor +1$ 至 $2\times\lfloor \dfrac{5^i}{2} \rfloor $ 项的值为 $2m+1$（手搓一下就知道了）

求和即可

令 $N=\lfloor {\log }_{5}n\rfloor +1$ ，对 $i\in [1,N]$ 遍历求和得到答案

由于答案数据极其庞大，超出了C++ %lld(64bits)的范围，因此需要使用更高位数的整数类型（如int128）//或者直接转战Python

时间复杂度

$O(\log n)$

参考代码

import math
# while 1:
n=int(input())
N=int(math.log(n,5)+1)
re=0
if n%2==0 :
    for i in range(1,N+1) :
        #print("i="+str(i))
        a1=(5**i)//2+2 #首项
        #print("a1="+str(a1))
        d=(5**i)*2 #公差
        #print("d="+str(d))
        m=(n//2)//(5**i) #完整段数
        #print("m="+str(m))
        re+=(2*a1+(m-1)*d)*m//2 #完整段等差数列求和
        #print("re1:" + str(re))
        re+=(n//2-m*(5**i))*2*m #最后一段余项求和
        #print("re2:" + str(re))
        #print("pl1=" + str((n//2-m*(5**i))*2*m))
        if n//2-m*(5**i)>(5**i)//2 :
            re+=n//2-m*(5**i)-(5**i)//2
            #print("pl2=" + str(n//2-m*(5**i)-(5**i)//2))
                

if n%2 :
    for i in range(1,N+1) :
        #print("i="+str(i))
        a1=(5**i)//2+1 #首项
        #print("a1="+str(a1))
        d=(5**i)*2 #公差
        #print("d="+str(d))
        m=((n+1)//2)//(5**i) #完整段数
        #print("m="+str(m))
        re+=(2*a1+(m-1)*d)*m//2 #完整段等差数列求和
        #print("re1:" + str(re))
        re+=((n+1)//2-m*(5**i))*2*m #最后一段余项求和
        #print("re2:" + str(re)) 
        #print("pl1=" + str(((n+1)//2-m*(5**i))*2*m))
        if (n+1)//2-m*(5**i)>(5**i)//2 :
            re+=(n+1)//2-m*(5**i)-(5**i)//2
            #print("pl2=" + str((n+1)//2-m*(5**i)-(5**i)//2))
    
print(re)