文/锦州之星博苑幼儿园 滕司洋
很多人把数学看成是学校固定的课程，而且通常认为是比较困难和枯燥的课程。但当你接触了蒙氏数学之后，一定会抛弃曾经的偏见和恐惧。蒙台梭利用教具提供给孩子一种方法，用感官的经验去学习数学，用具象的教具去理解抽象的数字。
我们每个人都生来都具有数学性心智，蒙台梭利称能够做出判断、计算的能力，能够从周围世界中抽象出事物的本质的能力叫做数学性心智。人类在真正理解数学概念之前，就已经用数学的方式在思考。比如，有两个还没有学会数数的孩子，如果你给其中一个孩子一块饼干，给另外一个孩子两块饼干，他们会感觉到不公平。这就是数学中分辨多少、大小、长短的能力。所以，数学并不应该仅仅是学校的一门学科，它应该与我们的生活紧紧相连，在建筑、艺术、音乐中都经常有数学存在。
通常，孩子在3.5岁-4岁期间，我们就可以进行数学的工作，当然也要基于他之前做了哪些工作，日常以及感官区的间接和直接的预备对于孩子学习数学是非常重要的。
Part 1
在蒙台梭利教室中，数学的学习需要日常生活和感官的预备
1、日常生活预备
要问孩子的数学性心智在蒙台梭利教室中从哪里开始？答：从日常生活开始。
孩子进行任何一个日常生活活动的时候，动作协调都得到了训练，他的大肢体，小肢体协调都得到了发展。之后在进行数学工作的时候，需要动作协调方面的能力，如：数串珠的时候，写数学算式的时候都需要动作协调的能力。
此外，数学即是秩序。孩子通过日常生活区工作对秩序、顺序、测量和精准有了相当的了解和练习。比如洗桌子工作，就有两种秩序存在。一是教具陈列出来有一定秩序，二是做工作过程中的顺序具有一定秩序。在测量方面，如不同容器的倒，需要有停顿用眼观察后再倒而不至于倒洒；插花工作中给每一支花剪枝时需要目测剪的位置；擦亮的工作，我们取擦亮溶液的时候，我们告诉孩子只需要一点点。这样孩子首先需要做出判断，然后才能够精准地去工作。环境中各种折布练习、擦亮的细节关注等都锻炼了孩子动作的精准。
2、感官预备
蒙台梭利的数学教育是以感觉教育为基础的。感官教育帮助孩子直接地理解一些数学术语。孩子身边的事物无数，但属性是有限的，我们反复刺激他们的感觉器官，使其集中注意，清楚了解属性的要素与关系，如大小、轻重、长短、形状、颜色等。在他们知道数量以前，用感官的方式先掌握了这些未被数值化的量。
所有的感官工作都以不同的方式直接或间接地为数学学习做着准备，可以帮助孩子逐步建立抽象逻辑思考能力，而成为“抽象系统的具体化”。
（1）有些感官教具的数量为10。虽然我们不会让孩子们去数教具有几个，但在观察中我们会发现有些孩子会自发地去数，很多教具都有10个，这为十进制的学习做了预备。
（2）配对。找到两个一样的，是数学的基本概念之一。感官区有很多配对的工作，如色板一和色板二，温觉板、声音筒、嗅觉瓶、布盒等工作。在孩子最初的数学学习中，数字符号和数量的对应就是一种配对，2+2=4也是一种配对。
（3）排序。排序也是数学的概念之一。排序就是量的增长和递减。圆柱体有从小到大的顺序，长棒有从长到短的顺序，棕色梯有从粗到细的顺序，色板三有从深到浅的顺序，音感钟有从低音到高音的顺序，而自然数1、2、3、4……数字本身便具有从小到大，或由大到小的数列顺序。
（4）感官活动中，孩子会发现物品之间有联系。如棕色梯和粉红塔的截面相同，所有的圆柱体都可以放在一起工作，再如环境游戏，孩子会发现和一根红棒长度相同的物品，会发现布盒与窗帘的关系……在数学的工作中，孩子们也会发现加法和减法的关系，加法和乘法的关系，乘法和除法的关系等等。
（5）小学代数学、几何学的预备。几何图橱、建构三角形为孩子学习几何学做了预备；二项式、三项式是今后代数学习的准备。
所以，在蒙台梭利教学体系中，数学的学习必须以日常生活和感官教育为基础才能着手进行。我们没有必要操之过急在孩子很小的时候就要孩子学习数学，我们相信，当孩子真正做好了准备，学习数学就会变得简单容易。
那么，当孩子进入到数学领域，蒙台梭利是怎样带着他们一步一步从具体走向抽象呢？
Part 2
在蒙台梭利教室中， 数学的学习要遵循一定步骤和基本的原则
数学领域共分为六个群组，我们要遵循一定的顺序，帮助孩子一层一层建构对于数学的理解，每当一个层次建构好之后我们才会接着去建构下一层次。
第一群组：数字1-10
整体目标：让孩子理解数字1-10、了解顺序以及相对应的量，同时也会介绍“0”的概念。
1、数棒。蒙台梭利认为数字应该先由一个整体的方式呈现给孩子，只有当孩子知道了每一个数字整体地代表一定量之后，慢慢地才会去理解数字。我们首先用数棒让孩子了解整体的量，比如：数棒2代表了两个单位的量连在一起，呈现的就一个整体，而不是一个一个单独存在的。用数棒进行工作的时候，每个数字都是以一个整体的形式来呈现的；数棒还可以让孩子了解到数字与数字之间的关系，他会注意到每一个数字和下一个数字之间都是有联系的，比如会注意到3在2后面，而在4的前面，通过这个工作，对数字1-10有一个整体的认识和概念。
2、砂纸数字板。用三阶段的方式，让孩子在手指的触摸、描摹过程中去了解代表量的符号——数字，了解这些数字符号的写成方式。
3、数棒与数卡。当孩子对量、对符号都有了一定的认识之后，我们通过数棒与数卡的工作把量和符号进行对应。
4、纺锤棒箱。慢慢地，孩子能够了解很多个分散的量可以集合成一个整体。在纺锤棒箱的工作中，几根纺锤棒捆在一起，就代表了几个独立存在的量合在一起，也代表了一个集合数。这个工作同时会帮助孩子理解0的概念，0就是什么也没有的意思。
5、数字与筹码。对于1-10数字与数量对应的继续练习，同时，我们也可以把这个工作当成是一个检验。检验孩子对于数字1-10的顺序以及数字与数量的对应。因为在这个工作中，无论是数字的顺序和量的多少都是不固定的，当孩子能够自己去独立完成，说明第一群组我们已经帮助孩子建构好了。
6、数字记忆游戏。提供了有意思的、大量重复练习的机会，以加深孩子对1-10数字与数量的理解。
在第一群组中，我们首先让孩子了解整体的量（数棒），再去了解代表量的符号（砂纸数字板），当孩子对量、对符号都有了一定的认识之后，我可以把量和符号进行对应（数棒与数卡），能够对应之后，我们还要有其他的工作提供孩子大量重复练习的机会（纺锤棒与箱、数字与筹码、数字记忆游戏），帮助孩子理解数字1-10。在第一群组教中还会介绍0的概念，引入平均分的感官体验。
第二群组：十进制系统
整体目标：向孩子介绍十进制系统的功能，以及向孩子介绍四则运算：加、减、乘、除。
在第一组中，孩子已经知道了数字1-10，也知道了0。接下来就进入第二组十进制的工作，我们向孩子介绍数学中更大的量和数字符号。
1、一、十、百、千量的介绍。 同第一群组一样，我们仍然用孩子能够感受到的方式来介绍量的多少，这里，用视觉感官和重量觉的感官方式让孩子感受一、十、百、千量的不同，用三阶段的方式让孩子学会一、十、百、千的命名，孩子会感受到一千要比十重很多。
2、1、10、100、1000符号的介绍。体会了量的不同之后，在用三阶段的方式介绍数字符号1、10、100、1000。
3、数字家族。同第一群组一样，当孩子对一、十、百、千的量，对1、10、100、1000的数字符号都有了一定的认识之后，我们就可以将数量和数字结合，进行量和符号的关联。在这个工作中，孩子会看到数的框架，认识个、十、百、千不同的数位，学会数的排列，同时接触到了大数字。
4、换位游戏。在换位游戏当中孩子获得了进位的印象，接下来我们会利用金色珠的教具以及数字卡片让孩子来进行加，减，乘，除的四则运算。
5、用金色珠子进行四则运算。金色珠子同样用非常感官的方式使孩子接触了加、减、乘、除的四则运算。孩子用手去拿、去使用金色珠子，体验了变多、变少，之后就会理解加法就是把一些量合在一起，减法就是从一个量中拿走一些量，乘法就是把一个相同的量拿来几次，除法就是把一个量平均分成几份。在这个工作中，孩子对于运算过程的理解比得到正确的答案更加重要，这样的学习方式与我们传统学习数学的方式很不一样。
5、邮票游戏。金色珠子的工作是以团体形式来进行，而邮票游戏则是孩子单独一个人来操作。金色珠子能让孩子清晰地感受到一、十、百、千量的不同及变化，而邮票游戏把一、十、百、千的珠子变成了大小一样的邮票。目的是为了帮助孩子能够到达更加抽象的符号性运算阶段，让孩子能够以更独立的形式来进行四则运算。邮票游戏每个数位有不同的颜色，可以帮助孩子进一步的理解每个位数。
6、点的游戏。通过点的游戏向孩子介绍万的概念，同时这个工作也更加抽象和具有符号性，因为这个时候“量”只是成为了板上面的点，从而预备孩子进行竖式加法。
7、应用题。通过十进制系统孩子了解了四则运算的规则以及进位的本质，为了能够将数学和语言联系在一起，我们还提供给孩子四则运算的应用题。
第二群组十进系统提供给孩子构成数字的框架和规律，以及数字之间的运算关系。符合并满足第一发展阶段处于4岁以后孩子的需求。数字排列以及数位特定的顺序需要秩序的敏感；团体合作的金色珠子四则运算使其社会性发展的需求得到满足；孩子拿取珠子托盘，需要有协调的动作达成身心合一；此外，十进制系统需要沟通和交流，也能让孩子的语言的敏感期得到满足。
第三群组：连续数数
整体目标：让孩子练习自主地、不加思索地数数。
第三群组与第二群组是可以平行进行的，在第二群组工作的过程中孩子会不断地听到各种数字，就在这样的时间点上开始给孩子介绍第三群组的工作，给孩子介绍数字的叫法，教给他们一个一个按照顺序进行数数。通过第三群组的这些工作，孩子还会明白数字是组合而成的。
1、十几板。11-19之间数字与数量的对应。孩子会知道12是由10和2合起来组成的数字；数字十几就是由一个10和个位的数字加在一起，慢慢发现节奏，从而能够连贯地、不加思索地数数。
2、几十板。11-99之间数字与数量的对应。孩子会感受到当29之后十位就会进到下一个数位— 30。
3、百珠链、千珠链。第二组中的换位游戏是十进制之间的交换，一个位数换到下一个位数，而在第三组中会让孩子知道也会有同位之间的交换，为了让孩子能够更好滴熟悉线性数数，更好地重复练习，我们提供给孩子串珠链。之前的一片百和一块千对于孩子是整体的认知，而在第三组中，孩子能真正地一个一个去数100、1000里面的每一颗珠子。每一个串珠所对应的箭卡能够帮助孩子标注他数到了哪里，帮助孩子了解数字的倍数关系，串珠链不仅能够帮助孩子线性数数，还帮助孩子跳数。
4、平方链和立方链。平方片和立方体之间的比较，间接地为孩子建立平方和立方的概念做准备，带给孩子直接和间接的理解是多重的，提供给孩子探索的钥匙。学习传统数字的名称和数数的方式，适应当下所生存的环境。
第四群组：记忆数学
整体目标：帮助孩子记忆四则运算的关键组合，加、乘、减、除的组合。
此时孩子已经能够很好的数数了，第一群组是基础，1-10；之后在第二群组中学到十进制，学到不同的数位，了解到四则运算的本质和过程，从刚开始大量的教具慢慢过渡到用纸计算；第三群组中直线数数和跳数。当孩子能用纸进行运算的时候，就慢慢进入抽象的阶段，这时知道一些关键的组合很重要，第四群组就是让孩子集中在这些关键组合上，加法表、乘法表、减法表和除法表。
刚开始给予孩子的都是具体的、可操作的，慢慢过渡到稍微抽象一些，给孩子介绍一个概念后，就会有许多重复练习，从而到达测验的阶段，来验证孩子是否真正地学会了。
1、加法蛇。第四群组也是从量开始，加法蛇用具体的珠子使孩子有机会去练习10以内加法的基本组合。
加法长条板。到了加法长条板，加入了一些数字符号，进行18以内加法关键算式的记忆。
加法练习表和加法空白表。从加法蛇珠子的量的相加到加法长条板中蓝红长条的量的相加，最后到达抽象化的数字符号的相加，这时候的孩子一定知道了5+8=13是5个的量和8个的量合在一起等于13的量，而不是单纯地去依靠他们特有的天赋背诵下来囫囵吞枣。
2、同样的方式我们会向孩子介绍减法蛇、减法长条板、减法表和空白表。
3、乘法串珠、乘法板、乘法表和空白表。
4、除法板、除法表和除法空白表。
第四群组主要是让孩子感兴趣去记忆运算的关键组合，但孩子并不仅仅是记忆，在过程中会再一次体验到四则运算之间的关系。
第五群组：通往抽象的道路
整体目标：将孩子导向到进行数学计算的过程，包括在纸上进行运算，也包括在大脑中进行计算。
正像名称一样，通往抽象化是希望孩子通过在大脑中所储存的记忆来进行工作，而慢慢脱离教具。第四群组中用到的都是小数字，到了第五群组要依靠小数字运算的关键组合进行大数目的运算。
1、串珠小立架。大目数的加法和减法的运算。孩子与大数字工作的经验是基于第四群组的小数字的经验的，比如2＋3=5，那么就能推出20+30=50。之前在第二群组中，孩子已经用金色珠子和邮票游戏了解了运算机制，在第四群组中又记忆了关键组合，所以在在第五群组中，就能够将关键组合的经验用于大数字的运算了。
2、百万箱。一万、十万和百万，通过感官经验给孩子量的介绍。
3、串珠大立架。大数目乘法的运算。
4、试管除法。大数目除法的运算。
第六群组：分数
整体目标：向孩子介绍分数世界。
孩子日后进入到小学阶段，会接触到关于分数的更多的工作，在儿童之家我们只向孩子介绍分数的概念，同样是通过感官的方式开始让孩子了解、认识分数。
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蒙台梭利数学教育充分地利用了孩子的吸收性心智，提供合适的环境，调动感官认知，展示合适的方法，从而支持数学性心智的发展。老师需要在实践中的教学细节上加以关注，教具的示范操作熟练于指尖很重要，但更重要的是要懂孩子，懂孩子的发展，懂孩子的心情，去创建有序、精准的数学环境，同时，我们也要懂得将自己放松下来，去发现在数学工作过程中那美妙而愉悦的感受，用全新的视角去引领孩子学习数学，当过程中努力了，相信结果就不会太差。