202109 CCF CSP 第2题 非零段划分 索引法

计算机软件能力认证考试系统

大致题意：

给你一个长度为 n 的自然数数组（自然数 >= 0），求一下 非零段 的个数怎么最多。

什么是 非零段？ 一段 连续的、非零的 数，叫一个非零段，还要保证它的左边要么没有数，要么是0，右边要么没有数，要么是0。

举例：
1，2，3，0，4，5，0.
非零段有两个，分别是 1，2，3 和 4，5. 

2，3虽然也是一段连续的、非零的数，但是它们左边 还有一个非零的数。

你可以把 数组 中所有小于 p 的数变成 0，p 是你自己决定的，然后让数组中的 非零段 个数最大，求p。

请思考一个问题，怎么求一个数组中 非零段 的个数？

考试那天我的做法是（现在我觉得繁琐，舍弃了）：

定义数组下标索引 j 从 1 开始，然后 for 循环， 循环内容：

​ 一个 while 让 j 指向下一个 非 0 元素；

​ j > n 则退出 for 循环；

​ 一个while 让 j 指向下一个 为 0 的元素；

​ 非零段+1；

​ j > n 则退出 for 循环；

可以发现 非零段 的左边一定是 0（也可以没有数，但是可以在数组开头人为增加一个 0），所以比较简洁的做法是：

if( arr[i] > 0 && arr[i-1] == 0) ++非零段；

即 i 处的值 非0， 它左边的数 为0， 那 i 是一个非零段的起点。

注意这里 数组索引从 1 开始， 但是把 arr[0] 设置为 0。

所以一个简单的思路就是：依次尝试所有可能的 p（从 1 到 数组的最大值），遍历数组，把数组中 小于 p 的数 变为 0， 然后再遍历一遍数组，看一看有多少非零段，记录 最大的非零段个数 和 相应的p。

这样复杂度在 n^2 左右，应该是能拿 70 分，剩下的就 TLE 了。

怎么优化呢？

问题在于把 小于p 的数变为 0 需要遍历整个数组，实际上这个数组的信息我们早就掌握了，所以利用历史信息进行优化，（空间换时间），**可以把 小于p的那些数，它们在数组中的索引保存下来。**可以用vector 保存。

进一步地，我们是依次尝试所有可能的 p， 所以 p 是从小到大的，

故把数组中 所有值为 1 的那些数，它们的索引保存下来；

再把数组中 所有值为 2 的那些数，它们的索引保存下来；

再把数组中 所有值为 3……

那么 p 为 1 时，要把所有小于1，即所有为0的数变为0，其实啥也不干；

那么 p 为 2 时，要把所有小于2， 即所有为1的数变为0，这些数在哪儿呢？在上面提前保存下来了。然后这些数变为0了，非零段个数可能发生变化，怎么判断？

先介绍一个流传较广的、好理解的岛屿模型：把不同大小的数字 当作不同高度的 小岛，p当作海平面，海平面升高时，有的岛屿就被覆盖了。在海平面以上的，且相邻的岛屿，当作一个大的整体（非零段）。

这个模型仅用来帮助理解。

继续刚才的问题，怎么判断海平面上升时，岛屿个数的变化？

海平面上升时，有的岛屿被淹没了，所以此时，这个被淹没的岛的 左右两边 要么也有岛，要么早就被淹没了。

就四种情况：1左边有，右边有； 2左边有，右边无； 3左边无，右边有； 4左边无，右边无；

1情况：岛屿数加1，因为原来这三个岛都在海平面以上，当作一个岛。现在中间的被淹了，显然左右是两个岛，所以多了一个岛，即岛屿数加1。我觉得这个逻辑不用解释。

2情况，3情况：岛屿数不变。

4情况：岛屿数减1。

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 5;
int a[maxn];
vector<int> pos[maxn];
set<int> all;

int main(){
	int n; cin >> n;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		cin >> a[i];
		pos[a[i]].push_back(i);
		all.insert(a[i]);
	}

	int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
       if(a[i] && !a[i-1]) ++ans;
	}

    //对每个p
    int tmp = ans;
	set<int>::iterator it = all.begin();
	if(*it == 0) ++it;
	while(it != all.end()){

        for(int i = 0; i < pos[*it].size(); ++i){
            int t_pos = pos[*it][i];
            a[t_pos] = 0;

            if(0 < a[t_pos-1] && 0 < a[t_pos + 1])
                ++tmp;

            if(!a[t_pos-1] && !a[t_pos+1])
                --tmp;

        }
        ans = max(ans, tmp);
        it++;

	}

    cout << ans;

	return 0;
}

另外也盛传 差分+前缀和 的解题方法，对此我只认同CCF202109-2 非零段划分（100分）【序列处理】_海岛Blog-CSDN博客_ccf非零段划分这篇Blog的解法。其他的解法虽然ac了，但不堪卒读，差分法懂了，前缀和懂了，但是他们的解法自己都解释不清楚，所以当作垃圾扔掉就好。