数据结构--图的遍历 BFS

数据结构–图的遍历 BFS

树的广度优先遍历

从 1 结点进行$bfs$的顺序：
【1】
【2】【3】【4】
【4】【6】【7】【8】

图的广度优先遍历

从 2 号点开始$bfs$的顺序：
【2】
【1】【6】
【5】【3】【7】
【4】【8】

树 vs 图

不存在“回路”，搜索相邻的结点时，不可能搜到已经访问过的结点
树的⼴度优先遍历（层序遍历）：
①若树⾮空，则根节点⼊队
②若队列⾮空，队头元素出队并访问，同时将该元素的孩⼦依次⼊队
③重复②直到队列为空

搜索相邻的顶点时，有可能搜到已经访问过的顶点

代码实现

⼴度优先遍历（Breadth-First-Search, BFS）要点：

1. 找到与⼀个顶点相邻的所有顶点
2. 标记哪些顶点被访问过
3. 需要⼀个辅助队列
   •FirstNeighbor(G,x)：求图G中顶点x的第⼀个邻接点，若有则返回顶点号。
   若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1。
   •NextNeighbor(G,x,y)：假设图G中顶点y是顶点x的⼀个邻接点，返回除y之外
   顶点x的下⼀个邻接点的顶点号，若y是x的最后⼀个邻接点，则返回-1

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
//广度优先遍历
void BFS(Graph G, int v)
{
    //从顶点v出发，广度优先遍历图G
    visit(v);
    //访问初始顶点v
    visited[v] = TRUE;
    //对v做已访问标记
    Enqueue(Q, v);
    //顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q))
    {
        DeQueue(Q, v);
        //顶点v出队列
        for(w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) //检测v所有邻接点
            if(!visited[w]) //w为v的尚未访问的邻接顶点visit(w);//访问顶点W
            {
                visited[w] = TRUE; //对w做已访问标记EnQueue(Q,w);   //顶点w入队列
            }//if
    }//while
}

遍历序列的可变性

$同⼀个图的邻接矩阵表示⽅式唯⼀，因此⼴度优先遍历序列唯⼀$

$同⼀个图邻接表表示⽅式不唯⼀，因此⼴度优先遍历序列不唯⼀$

算法存在的问题

如果是⾮连通图，则⽆法遍历完所有结点

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
//广度优先遍历
void BFS(Graph G, int v)
{
    //从顶点v出发，广度优先遍历图G
    visit(v);
    //访问初始顶点v
    visited[v] = TRUE;
    //对v做已访问标记
    Enqueue(Q, v);
    //顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q))
    {
        DeQueue(Q, v);
        //顶点v出队列
        for(w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) //检测v所有邻接点
            if(!visited[w]) //w为v的尚未访问的邻接顶点visit(w);//访问顶点W
            {
                visited[w] = TRUE; //对w做已访问标记EnQueue(Q,w);   //顶点w入队列
            }//if
    }//while
}

BFS算法（Final版）

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];
void BFSTraverse(Graph G)   //对图G进行广度优先遍历for(i=0;i
{
    //访问标记数组初始化//初始化辅助队列Q//从0号顶点开始遍历
    for(i = 0; i < G.vexnum; ++i)if(!visited[i])BFS(G, i);
    //对每个连通分量调用一次BFS//vi未访问过，从vi开始BFS
}
//广度优先遍历
void BFS(Graph G, int v)
{
    //从顶点v出发，广度优先遍历图G
    visit(v);
    //访问初始顶点v
    visited[v] = TRUE;
    //对v做已访问标记
    Enqueue(Q, v);
    //顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q))
    {
        DeQueue(Q, v);
        //顶点v出队列
        for(w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) //检测v所有邻接点
            if(!visited[w])    //w为v的尚未访问的邻接顶点visit(w);//访问顶点w
            {
                visited[w] = TRUE; //对w做已访问标记EnQueue(Q,w);   //顶点w入队列
            }//if
    }//while
}

复杂度分析

空间复杂度：最坏情况，辅助队列⼤⼩为 O(|V|)

$邻接矩阵$存储的图：
访问 |V| 个顶点需要O(|V|)的时间
查找每个顶点的邻接点都需要O(|V|)的时间，⽽总共有|V|个顶点
时间复杂度=$O(|V{|}^2)$

$邻接表$存储的图：
访问 |V| 个顶点需要O(|V|)的时间
查找各个顶点的邻接点共需要O(|E|)的时间，
时间复杂度= $O(|V|+|E|)$

⼴度优先生成树

广度优先生成树（Breadth-First Search Tree）是一种图算法，用于以广度优先的方式遍历和生成图的树形结构。该算法从图中的一个起始节点开始，逐层遍历图中的节点，直到遍历完所有与起始节点可达的节点。

广度优先生成树的过程如下：

1. 选择一个起始节点作为根节点，并将其标记为已访问。
2. 将起始节点入队列。
3. 从队列中取出一个节点作为当前节点。
4. 遍历当前节点的所有邻接节点：
   • 如果邻接节点未被访问过，则将其标记为已访问，并将其加入队列。
   • 将当前节点与邻接节点之间的边添加到生成树中。
5. 重复步骤3和步骤4，直到队列为空。

广度优先生成树的特点是，它按照节点的层级顺序生成树，即先生成根节点，然后生成与根节点相邻的节点，再生成与这些节点相邻的节点，依次类推。因此，生成的树形结构具有层级感，节点之间的距离相对较近。

广度优先生成树在图算法中有广泛应用，例如最短路径算法、网络分析、社交网络分析等。它能够帮助我们理解和分析图结构，了解节点之间的关系和层级结构。

⼴度优先生成森林

广度优先生成森林（Breadth-First Search Forest）是在一个连通图中进行广度优先搜索的结果，其中可能包含多个生成树。每个生成树都是从一个起始节点开始，通过广度优先搜索遍历图中的节点而形成的树状结构。

广度优先生成森林的过程与广度优先生成树类似，只是在遍历图的过程中，如果发现还有未访问的节点，就选择其中一个未访问的节点作为新的起始节点，继续生成一棵新的生成树。这样，通过多次广度优先搜索，可以生成多棵独立的生成树，组成一个森林。

广度优先生成森林的特点是，它可以同时生成多个以不同起始节点为根的生成树，这些生成树之间可能没有直接的连接。每个生成树都是从一个起始节点开始，按照广度优先的方式遍历与其可达的节点，形成一个独立的树形结构。

广度优先生成森林在图算法中也有广泛应用，特别是在处理非连通图时。通过生成森林，我们可以获得图中所有连通分量的结构信息，并且可以对每个连通分量进行进一步的分析和处理。广度优先生成森林可以帮助我们理解和分析图的整体结构，以及不同连通分量之间的关系。

对⾮连通图的⼴度优先遍历，可得到⼴度优先⽣成森林

知识回顾与重要考点