P1908 逆序对

逆序对

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了,但是毕竟都是成年人,他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏,现在他们喜欢玩统计。

最近,TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西,这东西是这样定义的:对于给定的一段正整数序列,逆序对就是序列中 a i > a j a_i>a_j ai>aj i < j ii<j 的有序对。知道这概念后,他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

Update:数据已加强。

输入格式

第一行,一个数 n n n,表示序列中有 n n n个数。

第二行 n n n 个数,表示给定的序列。序列中每个数字不超过 1 0 9 10^9 109

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

样例 #1

样例输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

样例输出 #1

11

提示

对于 25 % 25\% 25% 的数据, n ≤ 2500 n \leq 2500 n2500

对于 50 % 50\% 50% 的数据, n ≤ 4 × 1 0 4 n \leq 4 \times 10^4 n4×104

对于所有数据, n ≤ 5 × 1 0 5 n \leq 5 \times 10^5 n5×105

请使用较快的输入输出

应该不会 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 过 50 万吧 by chen_zhe

分析

数据结构题,可以使用数据结构树状数组,也可以使用归并排序。
思路很简单,我们对读入的序列A,开一个数组b,按从左到右的顺序,读入 a i a_i ai,并使 b [ a i ] +=1; b[a_i]\text{+=1;} b[ai]+=1;,由于i之前的都已读入,所以我们只需知道前i个数中,大于 a i a_i ai的数即可,即 i − s u m b [ 1 → i ] i-sum_b[1 \to i] isumb[1i]sum是b数组的前缀和
思路定了,但有两个问题:

  • a i a_i ai过大,需要离散化优化
  • s u m b [ 1 → i ] sum_b[1 \to i] sumb[1i]不好求,需要树状数组维护

这里先说下树状数组:

template<typename T>
struct BIT{
	static const int M=1e6+10;
	T c[M];
	T lowbit(T x){return x&(-x);}
	void add(T x,T k){while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x);}
	T query(T x){
		T sum=0;
		while (x>0)	sum+=c[x],x-=lowbit(x);
		return sum;
	}
};
BIT<long long> T1;

笔者在这里使用了十分方便的模板树状数组,可以在之前int的树状数组上稍加改动即可,便能使用都支持的树状数组,这里笔者不过多赘述其原理,因为上面的代码多数可以“望文知义”。

代码

#include
using namespace std;
int n,m;
const int M=1e6;
int a[M];
int li[M],tot=0;
template<typename T>
struct BIT{
	static const int M=1e6+10;
	T c[M];
	T lowbit(T x){return x&(-x);}
	void add(T x,T k){while(x<=n) c[x]+=k,x+=lowbit(x);}
	T query(T x){
		T sum=0;
		while (x>0)	sum+=c[x],x-=lowbit(x);
		return sum;
	}
};
BIT<long long> T1;
int main(){
	cin>>n;
	long long ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];li[tot++]=a[i];
	}
	sort(li,li+tot);
	int res=unique(li,li+tot)-li;
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=(lower_bound(li,li+res,a[i])-li)+1;
	for (int j=1;j<=n;j++){
		T1.add(a[j],1);
		ans+=j-T1.query(a[j]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

分析

	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];li[tot++]=a[i];
	}
	sort(li,li+tot);
	int res=unique(li,li+tot)-li;
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=(lower_bound(li,li+res,a[i])-li)+1;
	

用的离散化与以前大致相同,但需注意 a [ i ] = ( l o w e r b o u n d ( l i , l i + r e s , a [ i ] ) − l i ) + 1 ; a[i]=(lower_bound(li,li+res,a[i])-li)+1; a[i]=(lowerbound(li,li+res,a[i])li)+1;,因为树状数组下标从1开始,所以+1

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