23.8.4 牛客暑期多校6部分题解

B - Distance

题目大意

有 $A,B$ 两个数列，需要选择两者的子序列进行操作，每次操作可以使任一数列的任一数加 $1$，两个数列不同当且仅当某个数在 $A$ 数列出现的次数不等于在 $B$ 数列出现的次数，问所有情况下最小操作次数和为多少（仅考虑数列长度相等时）

解题思路

考虑对于两个已经选出来的数列，可以自然而然发现最优策略一定是排序之后对应位置相互转化

先进行排序，然后考虑对于一对数 $A_i$ 和 $B_j$ 对答案的贡献

朴素地发现会产生的影响的方案数为 ${\sum }_{p=0}^{min(i-1,j-1)}{\sum }_{q=0}^{min(n-i,n-j)}{C}_{i-1}^p{C}_{j-1}^p{C}_{n-i}^q{C}_{n-j}^q$

解释一下：$p$ 是在枚举当前对前面选择多少数对，$q$ 是在枚举后面的，组合数即选择怎么组合的方案数

组合数可以预处理，但就算这样时间复杂度也是 $O(n^4)$，考虑优化

参考范德蒙德卷积公式：${\sum }_{k=0}^m{C}_n^k{C}_m^k={\sum }_{k=0}^m{C}_n^k{C}_m^{m-k}=C_{n+m}^m$

可以将方案数优化为 $C_{i+j-2}^{min(i-1,j-1)}{C}_{2\ast n-i-j}^{min(n-i,n-j)}=C_{i+j-2}^{j-1}{C}_{2\ast n-i-j}^{n-j}$

所以最后答案就是 $abs(A_i-B_i)\ast {\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{C}_{i+j-2}^{j-1}{C}_{2\ast n-i-j}^{n-j}$

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