23.8.4 牛客暑期多校6部分题解
B - Distance
题目大意
有 A , B A,\space B A, B 两个数列，需要选择两者的子序列进行操作，每次操作可以使任一数列的任一数加 1 1 1，两个数列不同当且仅当某个数在 A A A 数列出现的次数不等于在 B B B 数列出现的次数，问所有情况下最小操作次数和为多少（仅考虑数列长度相等时）
解题思路
考虑对于两个已经选出来的数列，可以自然而然发现最优策略一定是排序之后对应位置相互转化
先进行排序，然后考虑对于一对数 A i A_i Ai 和 B j B_j Bj 对答案的贡献
朴素地发现会产生的影响的方案数为 ∑ p = 0 m i n ( i − 1 , j − 1 ) ∑ q = 0 m i n ( n − i , n − j ) C i − 1 p C j − 1 p C n − i q C n − j q \sum_{p=0}^{min(i-1,\space j-1)}\sum_{q=0}^{min(n-i,\space n-j)}C_{i-1}^pC_{j-1}^pC_{n-i}^qC_{n-j}^q ∑p=0min(i−1, j−1)∑q=0min(n−i, n−j)Ci−1pCj−1pCn−iqCn−jq
解释一下： p p p 是在枚举当前对前面选择多少数对， q q q 是在枚举后面的，组合数即选择怎么组合的方案数
组合数可以预处理，但就算这样时间复杂度也是 O ( n 4 ) O(n^4) O(n4)，考虑优化
参考范德蒙德卷积公式： ∑ k = 0 m C n k C m k = ∑ k = 0 m C n k C m m − k = C n + m m \sum_{k=0}^mC_n^kC_m^k=\sum_{k=0}^mC_n^kC_m^{m-k}=C_{n+m}^m ∑k=0mCnkCmk=∑k=0mCnkCmm−k=Cn+mm
可以将方案数优化为 C i + j − 2 m i n ( i − 1 , j − 1 ) C 2 ∗ n − i − j m i n ( n − i , n − j ) = C i + j − 2 j − 1 C 2 ∗ n − i − j n − j C_{i+j-2}^{min(i-1,\space j-1)}C_{2*n-i-j}^{min(n-i,\space n-j)}=C_{i+j-2}^{j-1}C_{2*n-i-j}^{n-j} Ci+j−2min(i−1, j−1)C2∗n−i−jmin(n−i, n−j)=Ci+j−2j−1C2∗n−i−jn−j
所以最后答案就是 a b s ( A i − B i ) ∗ ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n C i + j − 2 j − 1 C 2 ∗ n − i − j n − j abs(A_i-B_i)*\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nC_{i+j-2}^{j-1}C_{2*n-i-j}^{n-j} abs(Ai−Bi)∗∑i=1n∑j=1nCi+j−2j−1C2∗n−i−jn−j
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