扩展欧几里得算法——数学知识（c++）

1.扩展欧几里得算法

贝祖定理

若a，b是整数，且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x，y，ax+by=m中的m一定是d的倍数。（特别地，如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。）


以上图片来自zeroAC

AcWing 877. 扩展欧几里得算法
给定n对正整数ai,bi，对于每对数，求出一组xi,yi，使其满足ai∗xi+bi∗yi=gcd(ai,bi)。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含两个整数ai,bi。

输出格式
输出共n行，对于每组ai,bi，求出一组满足条件的xi,yi，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的xi,yi均可。

数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi≤2∗109
输入样例：

2
4 6
8 18

输出样例：

-1 1
-2 1

#include 
#include 

using namespace std;

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)//返回gcd(a,b) 并求出解(引用带回)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//这里会有系数变换
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    while (n -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        int x, y;
        exgcd(a, b, x, y);
        printf("%d %d\n", x, y);
    }

    return 0;
}

AcWing 878. 线性同余方程
给定n组数据ai,bi,mi，对于每组数求出一个xi，使其满足ai∗xi≡bi(mod mi)，如果无解则输出impossible。

输入格式
第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一组数据ai,bi,mi。

输出格式
输出共n行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的xi，如果无解则输出impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在int范围之内。

数据范围
1≤n≤105,
1≤ai,bi,mi≤2∗109
输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
7

同余式：对于a、b、m来说，如果m整除a-b（即（a-b）%m=0），那么就说a与b模m同余，对应的同余式为a x ≡ c ( m o d m ) ，m称为同余式的模。

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;


int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}


int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        int a, b, m;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &m);

        int x, y;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else printf("%d\n", (LL)b / d * x % m);
    }

    return 0;
}