非递归算法和递归算法的效率分析

在对算法进行效率分析时，非递归算法和递归算法的分析表现出差异性。这里将分类逐一介绍。

非递归算法效率分析

在分析非递归算法时，我们可遵循以下通用方案：
(1) 决定用哪个(哪些)参数表示输入规模。
(2) 找出算法的基本操作(作为一个规律，这个基本操作总是位于算法的最内层循环中)。
(3) 检查基本操作的执行次数是否只依赖于输入规模。如果它还依赖于一些其他的特性，则最差效率、平均效率和最优效率(如果有必要)都需要分别研究。
(4) 建立一个算法基本操作执行次数的求和表达式(某些情况下，需要建立一个递推关系式)。
(5) 利用求和运算的标准公式和法则来建立一个操作次数的闭合公式，或者至少确定它的解的增长次数。
接下来将从实例出发，练习如何对非递归算法进行分析。

查找元素最大值问题

问题描述如下：从n个元素的列表中查找元素的最大值。这里假设列表使用一维数组实现。该问题对应算法的伪代码实现如下：

A[0...n-1]表示存储n个元素的列表
max表示元素中的最大值
max = A[0]
while i < n-1 do 
    if(A[i] > max) then
        max = A[i]
    i++
return max

在该算法中，使用数组元素的数量作为输入规模。算法中执行最频繁的操作在while循环中。循环体中包含两个操作：比较操作A[i] > max和赋值操作max=A[i]。由于赋值操作是在比较操作结果为true时才执行，所以比较操作是该算法的基本操作。
对于输入规模n来说，比较次数不会因元素的位置而变化，所以该算法的基本操作不依赖其他特性，也就没必要进一步求最差效率、平均效率或最优效率。
如果使用$C(n)$表示比较运算的执行次数，由于该算法每循环一次，就进行一次比较操作，所以其求和表达式为：
$C(n)={\sum }_{i=1}^{n-1}1$

显然，上述表达式的结果为$n-1$。

元素唯一性问题

问题描述：验证给定数组中的N个元素是否都唯一。该问题对应算法的伪代码实现如下：

A[0...n-1]表示存储n个元素的列表
for i=0 to n-2 do 
    for j = i+1 to n-1 do
        if(A[i] = A[j]) then
            return false
return true

在该算法中，使用数组元素的数量作为输入规模。算法中执行最频繁的操作在内层for循环中，对应的基本操作是比较操作：A[i] = A[j]。对于输入规模n来说，比较次数会因元素的位置而变化，所以该算法的基本操作依赖其他特性，有必要进一步求最差效率、平均效率或最优效率。这里仅研究最差效率。
最坏的情况，就是遍历到第N-1个元素，才能确定元素是否唯一。这样，其算法的求和表达式为：
$C(n)={\sum }_{i=n-1}^{1}i$
通过计算可知，其结果为$(n-1)\ast n/2$

递归算法效率分析

在分析递归算法时，我们可遵循以下通用方案：
(1) 决定用哪个(哪些)参数表示输入规模。
(2) 找出算法的基本操作(对于递归算法，其基本操作无法通过最内层循环定位)。
(3) 检查基本操作的执行次数是否只依赖于输入规模。如果它还依赖于一些其他的特性，则最差效率、平均效率和最优效率(如果有必要)都需要分别研究。
(4) 建立一个算法基本操作执行次数的递推关系式(递推)以及相应的初始条件(回归)。
(5) 求解这个递推关系式，或者至少确定它的解的增长次数。

阶乘问题

问题描述：对于任意非负整数$n$，计算阶乘函数$F(n)=n!$。
因为当$n\ge 1$时，有：$n!=1\ast 2\ast ...\ast (n-1)\ast n$，又因为$0!=1$，所以可以得到递归式：$F(n)=F(n-1)\ast n$。对应伪代码实现如下：

if n = 0  
    return 1
else 
    reutrn F(n-1) * n

在该算法中，使用$n$作为输入规模。该算法的基本操作是乘法(F(n-1)*n)。这里把乘法的执行次数记为$M(n)$。
因为当$n\ge 1$时，$F(n)=F(n-1)\ast n$，所以$M(n)=M(n-1)+1$。其中$M(n-1)$表$F(n-1)$计算所需执行乘法次数，常数$1$表示将$F(n-1)$乘以$n$。
注意，满足这个递推式的序列有无数个，因为我们并没有限定n的起始值。所以，为了确定一个唯一解，这里确定下初始条件。对于$F(n)$来说，其递推回归的条件是：
$ifn=0thenreturn1$。所以，对应$M(n)$的初始条件是：$M(n)=0$，表示当n=0时，不做乘法操作。这样，$M(n)$的递归式可以表示为：
$$当n>0时，M(n)=M(n-1)+1$$
$$M(0)=0$$
接下来求解这个递归关系式。这里使用一种称为反向替换法(method of backward substitution)。针对上述递归式，其计算过程如下：
$M(n)=M(n-1)+1$
$M(n)=[M(n-2)+1]+1=M(n-2)+2$
$M(n)=[[M(n-3)+1]+1]+1=M(n-3)+3$
根据数学归纳法可知，$M(n)=M(0)+n=n$。也就是说，对于输入规模n，需要执行n次乘法操作。

汉诺塔(Tower of Hanoi)问题

问题描述：有n个不同大小的盘子和3根木桩。一开始，所有的盘子都按照大小顺序套在第1根木桩上，最大的盘子在底部，最小的盘子在顶部。我们的目的是把所有的盘子都移到第3根木桩上，在必要的时候，可以借助第2根木桩。我们每次只能移动一个盘子，但是不能把较大的盘子放在较小的盘子的上面。
该问题的递归算法的伪代码实现如下：

把n-1个盘子递归的从木桩1移动到木桩2（借助木桩3）  
把第n个盘子从木桩1移动到木桩3  
把n-1个盘子递归的从木桩2移动到移到3（借助木桩1）  

在该算法中，使用移动次数$n$作为输入规模。盘子的移动作为该算法的基本操作。将n个盘子的移动次数定义为$M(n)$。对于$M(n)$，有下列递推等式： $$当n>1时，M(n)=M(n-1)+1+M(n-1)$$ $$M(1)=1$$使用反向替换法求解这个递归式：
$M(n)=M(n-1)+1+M(n-1)$
$M(n)=2\ast M(n-1)+1$
$M(n)=2\ast [2\ast M(n-2)+1]+1=2^2\ast M(n-2)+2+1$
$M(n)=2\ast [2\ast [2\ast M(n-3)+1]+1]+1=2^2\ast M(n-3)+2^2+2+1$
根据数学归纳法，可知：$M(n)=2^{i}M(n-i)+2^{i-1}+...+2+1$。计算后i项，可得：$M(n)=2^{i}M(n-i)+2^i-1$。当i = n-1时，上述表达式可表示为：$M(n)=2^{n-1}M(1)+2^{n-1}-1$。又因$M(1)=1$，所以其结果为$M(n)=2^n-1$。
一般地，如果一个递归算法会不止一次的调用自身，处于分析的目的，构造一棵它的递归调用树是很用的。在这棵树中，节点相当于递归调用，可以用递归调用参数的值作为节点的标记。对于汉诺塔来说，它的递归调用树表示如下：

可见，盘子移动的次数，就是上述调用树中节点总数。由于这里是二叉完整树，所以其值为$2^n-1$。其结果和使用反向替换法求解递推式的结果一致。
力扣对应算法练习，可参考链接。

参考

《算法设计与分析基础》 第三版 Anany Levitin 著 潘彦 译
https://blog.csdn.net/qq_19446965/article/details/81591945 汉诺塔的图解递归算法

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