动态规划：背包问题

01背包：物品只能选一个

完全背包：物品可以选无数个  

注：01背包与完全背包，不论是求背包装的最多物品的价值，还是求装满容量为bag的背包最多有几种方法，区别都在里层遍历背包时，01背包使用倒序遍历，完全背包使用正序遍历

一、01背包问题

 1. 给定背包大小bag，求背包装的最多物品的价值

代码随想录 动态规划12题：01背包理论基础（滚动数组）

def test_1wei_bag_problem():
    weight = [1, 3, 4]          #物品所占体积
    value = [15, 20, 30]        #物品价值
    bag = 4                     #背包大小
    
    dp = [0] * (bag + 1)        #初始化迭代数组

    for i in range(len(weight)):    # 外层遍历物品
        for j in range(bag, weight[i] - 1, -1):   #里层遍历背包，背包要采用倒序遍历
            dp[j] = max(dp[j],dp[j - weight[i]] + value[i])   
            #dp后面的参数永远是背包大小减物体重量

    return dp[bag]

2.装满容量为bag的背包，最多有几种方法

代码随想录 动态规划16题：目标和

class Solution:
    def findTargetSumWays(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        total_sum = sum(nums)  # 计算nums的总和
        if abs(target) > total_sum:
            return 0  # 此时没有方案
        if (target + total_sum) % 2 == 1:
            return 0  # 此时没有方案
        target_sum = (target + total_sum) // 2  # 目标和，相当于bag

        dp = [0] * (target_sum + 1)  # 创建动态规划数组，初始化为0
        dp[0] = 1  # 当目标和为0时，只有一种方案，即什么都不选

        for num in nums:    #nums为物品重量与物品价值
            for j in range(target_sum, num - 1, -1):  #01背包采用倒序
                dp[j] += dp[j - num]  # 状态转移方程，累加不同选择方式的数量
        return dp[target_sum]  

二、完全背包 

 1. 给定背包大小bag，求背包装的最多物品的价值

代码随想录 动态规划18题：完全背包理论基础

def test_CompletePack():
    weight = [1, 3, 4]
    value = [15, 20, 30]
    bagWeight = 4

    dp = [0] * (bagWeight + 1)        #迭代数组初始化

    for i in range(len(weight)):      # 外层遍历物品
        for j in range(weight[i], bagWeight + 1):  # 内层遍历背包容量，完全背包采用正序遍历
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])
    print(dp[bagWeight])

test_CompletePack()

2.装满容量为bag的背包，最多有几种方法

代码随想录 动态规划19题：零钱兑换Ⅱ

class Solution:
    def change(self, amount: int, coins: List[int]) -> int:
        dp = [0]*(amount + 1)
        dp[0] = 1
        
        for i in range(len(coins)):                   # 遍历物品
            for j in range(coins[i], amount + 1):     # 遍历背包
                dp[j] += dp[j - coins[i]]
        return dp[amount]

3.完全背包排列问题：外层遍历背包容量，里层遍历物品种类

代码随想录 动态规划21题：组合总和Ⅳ

class Solution:
    def combinationSum4(self, nums: List[int], target: int) -> int:
        dp = [0] * (target + 1)
        dp[0] = 1
        for i in range(1, target + 1):  # 外层遍历背包
            for j in range(len(nums)):  # 里层遍历物品
                if i >= nums[j]:
                    dp[i] += dp[i - nums[j]]
        return dp[target]