acm-Polya计数定理

轨道-稳定子定理

对于一个置换群$G$，定义$G$作用于一个元素$a$代表取$G$中所有的置换对$a$作变换后能够得到的所有可能的结果构成的集合，这个集合中的所有元素也就构成了一个在$G$作用下形成的等价类。
轨道-稳定子定理就是说对于任意一个元素$a$的等价类中元素个数$\times$对元素$a$施加$G$中的置换后元素$a$保持不变的置换个数$=G$中的总置换个数。

Burnside 引理

设$Z_i$表示对$i$元素进行置换后结果仍为$i$元素的置换集合，$E_i$表示$i$元素的等价类的大小，$D_i$表示在$i$置换下不变的元素个数，$N$表示元素总个数，$L$表示等价类总个数。
于是轨道-稳定子定理可以表示成$|Z_i|\times |E_i|=|G|$，下面开始Burnside 引理的推导。
$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^N|Z_i|& =\sum _{i=1}^L|E_i||Z_i|\\ & =L|G|\\ \Rightarrow L& =\frac{1}{|G|}\sum _{i=1}^N|Z_i|\\ & =\frac{1}{|G|}\sum _{i=1}^{|G|}{D}_i\end{array}$

polya 引理

$polya$定理就是Burnside 引理的应用，考虑一个环上染色的问题，假设可以染的颜色有$k$种，定义$G$就是环的所有旋转变换，那么考虑对于每种旋转都是一种置换，置换就存在循环节，假设有$k$个循环节，则每个循环节内染色必须相同，不难得出染色方案的等价类数量为$L=\frac{{\sum }_{i=1}^n{k}^{M_i}}{n}$，其中$M_i$代表循环节个数，$n$代表环长，即有$n$种不同的置换。

例题一
题目来源：LuoGuP4980 【模板】Pólya 定理

题面：

题解：
容易发现$L=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{n}^{gcd(i,n)}$，改成枚举因子的形式容易得到$L=\frac{1}{n}{\sum }_{d\mid n}{n}^d\phi (\frac{n}{d})$，直接暴力算就行了。
代码：

#include 
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;


int phi(int n){
	int ans=1;
	for(int i=2;i*i<=n;++i){
		if(n%i==0){
			while(n%i==0){
				ans*=i;
				n/=i;
			}
			ans=ans/i*(i-1);
		}
	}
	if(n>1){
		ans*=(n-1);
	}
	return ans;
}
int qpow(int a,int b){
	int ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;
		b>>=1;
		a=1ll*a*a%mod;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n;
		scanf("%d",&n);
		int ans=0;
		for(int i=1;i*i<=n;++i){
			if(n%i)continue;
			if(i==n/i){
				ans=(ans+1ll*qpow(n,i)*phi(n/i)%mod)%mod;
			}else{
				ans=(ans+1ll*qpow(n,i)*phi(n/i)%mod)%mod;
				ans=(ans+1ll*qpow(n,n/i)*phi(i)%mod)%mod;
			}
		}
		ans=1ll*ans*qpow(n,mod-2)%mod;
		printf("%d\n",ans);
	}
}