【信号】傅里叶变换

        在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合，正交变换可以保证信号在变换前后的能量是相等的。

        信号正交：在(t1,t2)区间的两个函数j1(t)和j2(t),若满足两函数内积为0，则称j1(t)和j2(t)在区间(t1,t2)内正交。

        两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备正交函数集。

        （1）三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}

        （2）虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}

        信号正交分解：设有n个函数j1(t)，j2(t)，…，jn(t)在区间(t1，t2)构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交函数的线性组合来近似，可表示为：

        上式称为信号的正交展开式，也称为广义傅里叶级数。Ci是广义傅里叶系数。

        周期信号的傅里叶级数可以用三角函数表示，也可以用虚指数函数表示。

        三角形式的傅里叶级数：

        周期信号可分解为直流和许多余弦分量，A0/2是直流分量，Aicos(Ωt+ji)称为i次谐波。

        指数形式的傅里叶级数：运算方便

        任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。

        频谱：周期信号分解后，各分量的幅度和相位对于频率的变化，分别为幅度谱和相位谱。单边谱是根据三角形式的傅里叶级数画的，双边谱是根据指数形式的傅里叶级数画的。

        双边幅度谱的谱线高度为单边幅度谱的一半，且关于纵轴对称；而直流分量值不变。双边相位谱可以由单边相位谱直接关于零点奇对称。

        非周期信号的频谱是无限小，采用傅里叶变换。

        傅里叶变换：F(jω)是单位频率上的频谱，称为频谱密度函数，也是傅里叶变换。F(n)是实际频谱的双边谱强度，F(jw)是非周期的单位频谱密度，因为非周期的实际频谱无穷小，采用单位频谱密度来比较频谱大小。

        |F(jω)|~ω幅度频谱，是频谱密度和ω的关系，是偶函数；j(ω)~ω相位频谱，是奇函数。

        根据傅里叶级数可以求得反傅里叶变换

        时域卷积定理：若f1(t)«F1(jω)，f2(t)«F2(jω)，则f1(t)*f2(t)«F1(jω)F2(jω)

        频域卷积定理：若f1(t)«F1(jω)，f2(t)«F2(jω)，则f1(t)f2(t)«F1(jω)*F2(jω) 1/2π

        相关定理：若f1(t)«F1(jω)，f2(t)«F2(jω)，则R12(τ)«F1(jω)F2*(jω)，R21(τ)«F1*(jω)F2(jω)

        离散傅里叶变换：对于一个长度为N的离散信号x[n]，n=0,…,N-1，其离散傅里叶变换（DFT）为：

        w(k)=[1,WN-k,WN-2k,…,WN-(N-1)k]T构成N维复数空间，CN中的一组正交基，也是DFT的基函数。

        离散傅里叶反变换：若X[k]，k=0,K,N-1是长为N的离散傅里叶变换系数序列，则X[k]的离散傅里叶反变换是

        离散傅里叶反变换是将一个有限信号x[n]表示成了N个离散正弦分量的加和，每个正弦分量的振幅和初始相位由系数X[k]给出。

 

         由上图可以看出，除离散傅里叶变换外，若某个信号在时域（或频域）内是周期的，则经变换（或反变换）后其变换结果在频域（或时域）内是离散的；若信号在时域（或频域）内是离散的，则其变换（或反变换）结果在频域（或时域）内是周期的。周期性和离散性呈现出对偶关系。离散傅里叶变换则提供了一种在时域和频域内均是离散的信号变换方法。