微积分 知识整理

第一章 向量代数与空间解析几何

一、向量的模、方向角、投影

1. 向量的模与两点间的距离公式

向量的模：$|r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

两点间的距离公式：$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$

2. 方向角和方向余弦

方向角：非零向量 $r$ 与各坐标轴之间的夹角。用 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\dots$ 表示。

方向余弦：方向角的余弦值。设 $OM=(x,y,z)$，则有，$\cos \alpha =\frac{x}{|OM|}$，$\cos \beta =\frac{y}{|OM|}$，$\cos \gamma =\frac{z}{|OM|}$

$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\frac{1}{|OM|}(x,y,z)=\frac{OM}{|OM|}=e_{OM}$

并且有，${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$

3. 投影

向量在坐标轴上的投影：向量 $a$ 在坐标系中的坐标就是向量在对应坐标轴上的投影。$a$ 在 $x$ 轴上的投影，记作 ${\text{Prj}}_{x}a$ 。

二、数量积 向量积 混合积

给定两向量 $a$ 和 $b$，$\theta$ 为两向量的夹角，

1. 数量积

数量积是一个数。

数量积：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta =|a|{\text{Prj}}_{a}b=|b|{\text{Prj}}_{b}a$

数量积的坐标表达式：$a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$

推导过程：

2. 向量积

向量积是一个向量。

给定向量 $c$，其模，即 $|c|=|a||b|\sin \theta$，其方向垂直于 $a$ 和 $b$ 所在的平面，其指向由右手规则确定。$c$ 就是 $a$ 与 $b$ 的向量积。

向量积：$c=a\times b$

向量积的坐标表达式：$a\times b=\left|\begin{array}{lll}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$

上式推导过程与数量积的坐标表达式类似。

右手规则

三、平面及其方程

1. 曲面方程与空间曲线方程

曲面方程：一个曲面 $S$ 的方程为 $F(x,y,z)=0$

空间曲线方程：$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$

空间曲线可看作两个曲面的交线。

2. 平面的方程

法线向量：垂直于平面的非零向量。

2.1 点法式方程

当平面上的一点以及平面的法线向量已知时，就可以确定一个平面，于是有了平面的点法式方程。

点法式方程：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

点法式方程的如何得来？

已知一点 $A_0(x_0,y_0,z_0)$ 和平面的法线向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$，设 $A=(x,y,z)$ 为空间中任意一点，则有 $\mathbf{n}\cdot A_{0}A=0$，通过这个式子可以得出平面的方程。所有满足上式的 $A$ 构成了平面。

2.2 一般式方程

将上面的点法式子方程展开后，就有了平面的一般方程。

一般式方程：$Ax+By+Cz+D=0$

$x,y,z$ 的系数就是平面法向量 $\mathbf{n}$ 的坐标，即 $\mathbf{n}=(A,B,C)$ 。

对于上式，

• 当 $D=0$ 时，表示一个通过原点的平面;
• 当 $A=0$ 时，表示平行于（或包含）$x$ 轴的平面，同样，$B=0$ 和 $C=0$ 分别表示平行于（或包含）$y$ 轴和 $z$ 轴的平面；
• 当 $A=B=0$ 时，表示平行于 $xoy$ 平面，同样，$A=C=0$ 和 $B=C=0$ 分别表示平行于（或重合于） $xoz$ 平面和 $yoz$ 平面。

2.3 截距式方程

截距式方程：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

其中 $a,b,c$ 依次表示平面在 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的截距。

已知平面在各坐标轴上的截距，就可以用该方程来表示平面。

推导过程：

3. 两平面的夹角

两平面的夹角就是两平面法向量的夹角。规定这个夹角取 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 。

若已知两平面各自的法向量，则两平面的夹角可以通过下面的公式来确定（用到了数量积的概念）：

$\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

3.1 点到平面距离公式

设有一点 $P=(x_0,y_0,z_0)$ 和一平面 $Ax+By+Cz+D=0$，则有

点到平面距离公式：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

推导过程：

第二章 积分

一、单变量积分

积分是求导的逆过程。

1.1 不定积分

1.1.1 定义

定义：$\int f(x)\text{d}x=F(x)+C$

其中 $x$ 称为积分变量，$F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，即 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 。

从几何上理解，不定积分 $\int f(x)\text{d}x$ 就是函数 $f(x)$ 图像与 $x$ 轴之间的面积。

注意：$\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|+C$

推导过程：

1.1.2 性质

对于下面出现的 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，有个大前提：$f(x)$ 和 $g(x)$ 的原函数都存在。

① $\int [f(x)+g(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(x)\mathrm{d}x$

② $\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x$ （$k$ 为非零常数）

1.2 换元积分法

第一类换元积分法

$$\int f[\varphi (x)]{\varphi }^{\prime }(x)\text{d}x=\int f(u)\text{d}u$$

核心思想：将 $d$ 前面的部分放到 $d$ 后面去。

第二类换元积分法

$$\int f(x)\text{d}x=\int f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)dt$$

核心思想：将 $d$ 后面的部分放到 $d$ 前面来。

二重积分

二重积分其实就是求空间中曲顶柱体的体积。

1. 主要思想

将曲顶柱体的底面任意切成无数小块，小块的面积为 $\Delta \sigma$。$\Delta {\sigma }_i$ 表示第 $i$ 个小块的面积。在每一块所在的区域中任意取一个点 $(x_i,y_i)$，将这个点的坐标代入到代表曲顶柱体曲顶的式子 $z=f(x,y)$ 中，得到了一个 $z$ 值，这里的 $z$ 值可以看作是高。当每一个小块无限趋于一个点时，每一个小块所在的直曲顶菱柱就可以近似地当作直四棱柱，而直四棱柱的体积就等于 $\Delta \sigma \times z$ 。将所有这些小块所在的直四棱柱的体积都加起来，就得到了曲顶柱体的体积。

每一个小块无限趋于一个点，换一种表达方式就是，小块所在的区域的直径的最大值 $\lambda$ 趋于无穷小。直径不仅在讨论圆的时候出现，在一些四边形中，如曲边棱形，直径表示的是四边形内部距离最大的两个点所连成的线段。在这里，如果只是说明每一个小块的面积无限趋于无穷小，那么有可能是小块的形状无限趋于一条线段，而线段是没有面积的。

2. 定义

二重积分的定义：
$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i,y_i)\Delta {\sigma }_i$$

其中，$D$ 称为积分区域，$f(x,y)$ 称为被积函数，$x$ 和 $y$ 称为积分变量。

$d\sigma$ 也记作 $dxdy$，于是有， $\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy$ 。

3. 性质