密码学之RSA加密原理解析

  密码学是指研究信息加密,破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。
  密码学的历史大致可以追溯到两千年前,相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报,用密码传送情报。凯撒的做法很简单,就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样,如果不知道密码本,即使截获一段信息也看不懂。从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里,密码学的发展非常的缓慢,因为设计者基本上靠经验,没有运用数学原理。

  • 在1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候,彼此通信的双方就必须将规则告诉对方,否则没法解密。那么加密和解密的规则(简称密钥),它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法(symmetric encryption algorithm)
  • 1976年,两位美国计算机学家 迪菲(W.Diffie)、赫尔曼( M.Hellman ) 提出了一种崭新构思,可以在不直接传递密钥的情况下,完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向
  • 1977年,三位麻省理工学院的数学家 罗纳德·李维斯特(Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔(Adi Shamir)和伦纳德·阿德曼(Leonard Adleman)一起设计了一种算法,可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。

2、RSA数学原理

  上世纪70年代产生的一种加密算法。其加密方式比较特殊,需要两个密钥:公开密钥简称公钥(publickey)和私有密钥简称私钥(privatekey)。公钥加密,私钥解密;私钥加密,公钥解密。这个加密算法就是伟大的RSA

2.1 离散对数问题

思考一:有没有加密容易,破解很难的的数学运算?
方案:-->离散对数

3为17的原根
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; ;
;
结论:正推很简单,反推很难

模的基本运算 -- 预备知识

加法:
减法:
乘法:
除法:一般不做除法运算,因为可能无法取整
幂运算: --->根据乘法公式计算得来

2.2 欧拉函数φ

  任意给定正整数n,请问在小于等于n的正整数之中,有多少个与n构成互质关系? 计算这个值的方式叫做欧拉函数,使用:Φ(n)表示

  • 如: 计算8的欧拉函数,和8互质的 1、2、3、4、5、6、7、8
    • φ(8) = 4
  • 计算7的欧拉函数,和7互质的 123456、7
    • φ(7) = 6
  • 计算56的欧拉函数
    • φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点

  • 1、当n是质数的时候,φ(n)=n-1。
  • 2、如果n可以分解成两个互质的整数之积
    • 如n=A*B则:
      • φ(AB)=φ(A) φ(B)
      • φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24
  • 3、根据以上两点得到:如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则 (两个质数必须互质)
    • φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)
    • φ(21) = φ(3) * φ(7) = 2*6 = 12
    • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 共12个

2.3 欧拉定理

  如果两个正整数m和n互质,那么m的φ(n)次方减去1,可以被n整除。

  • 公式:
    验证:m=3,n=4,则:φ(n) = φ(4) = 2
    结果:

2.4 费马小定理

  欧拉定理的特殊情况:如果两个正整数m和n互质,而且n为质数!那么φ(n)结果就是n-1。

  • 公式:
    验证:m=3,n=5,则:φ(n) = φ(5) = 5-1 = 4
    结果:

2.5 公式换算

  • 公式:,正整数m和n互质
    验证:m=3,n=5,则:φ(n) = φ(5) = 4
    结果:

  • 公式2:,正整数m和n互质
    验证:m=3,n=5,则:φ(n) = φ(5) = 4,假设k=2
    结果:$3^8 \ \% \ 4 = 1$

  • 公式3:,正整数m和n互质,且m 验证:m=3,n=5,则:φ(n) = φ(5) = 4,假设k=1
    结果:

2.6 模反元素

  如果两个正整数e和x互质,那么一定可以找到整数d,使得 e*d-1 被x整除。那么d就是e对于x的“模反元素”

  • 1、;
    验证:e=3,x=5
    找到结果:d=2或d=7或 ……,3*2 % 5 = 1

  • 2、e*d = k*x + 1
    当x=φ(n)时, -->
    验证:m=3,n=15, x=φ(n)=φ(15)=φ(3)φ(5) = 24 = 8
    接着:取e=3与x=8互质,找到模反元素d=3或11或***
    结果:

  • 3、以上结果做一点延伸:












结论:m

3、 RSA加密原理:

3.1 迪菲赫尔曼密钥交换

  原始需求:不直接用密钥进行传输,保证数据传输更加安全,交换的目的是为了获取到10这个值。
  实际应用可能是为了获得对称加密的秘钥

image

3.2 RSA加密原理:

1、 -->加密
2、 -->解密

  • 加密公式:
  • 解密公式:
    • 公钥:n和e
    • 私钥:n和d
    • 明文: m
    • 密文: c
      ** 特别说明 **
  • 1、n会非常大,长度一般为1024个二进制位。(目前人类已经分解的最大整数,232个十进制位,768个二进制位)
  • 2、由于需要求出φ(n),所以根据欧拉函数是特点,最简单的方式n由两个质数相乘得到: 质数:p1、p2
    Φ(n) = (p1 -1) * (p2 - 1)
  • 3、最终由φ(n)得到e 和 d 。 总共生成6个数字:p1、p2、n、φ(n)、e、d

3.3 关于RSA的安全

除了公钥用到了n和e其余的4个数字是不公开的。
目前破解RSA得到d的方式如下:
1、要想求出私钥d。由于ed = φ(n)k + 1。要知道e和φ(n);
2、e是知道的,但是要得到 φ(n),必须知道p1 和 p2。
3、由于 n=p1*p2。只有将n因数分解才能算出。--->穷尽法

3.4 RSA加密的特点:

1、只能加密小数据,加密一些核心的小数据
2、加密效率不高
3、主要用于核心数据加密,如对称加密的key,签名等

4、RSA终端命令

Mac的终端可以直接使用OpenSSL进行RSA的命令运行。
由于Mac系统内置OpenSSL(开源加密库),所以我们可以直接在终端上使用命令来玩RSA. OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个:

image

4.1 生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)

//生成RSA私钥(密钥长度为1024bit)
RSA hmily$ openssl genrsa -out private.pem 1024
Generating RSA private key, 1024 bit long modulus
....................++++++
.++++++
e is 65537 (0x10001)

//输出私钥内容
RSA hmily$ cat private.pem
-----BEGIN RSA PRIVATE KEY-----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-----END RSA PRIVATE KEY-----

4.2 从私钥中提取公钥

//从私钥中提取公钥
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -pubout -out public.pem
writing RSA key
//输出公钥内容
RSA hmily$ cat public.pem
-----BEGIN PUBLIC KEY-----
MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQDoGwSluU1rcrCuPjLuXhrslgLI
wXl+vOnEHhCOlq9/BrM4yrdcWyiEe59sjFP0ucKd55KjVxr0yMVBuY/4sYORB0DU
jjm7+ndVSiGUgbk7E0gUkAi47mcSfMWFtnpIBKCD4lMgqllZXITusfmADTRTjou9
fUudR4UuV5CA/ikN5wIDAQAB
-----END PUBLIC KEY-----

4.1、4.2生成以下两个文件

image

4.3 将私钥转换成为明文

//将私钥转换成为明文
RSA hmily$ openssl rsa -in private.pem -text -out private.txt
writing RSA key

4.4 通过公钥加密数据,私钥解密数据

//生成明文文件
RSA hmily$ vi message.txt
//查看文件内容
RSA hmily$ cat message.txt
密码:123456
//通过公钥进行加密
RSA hmily$ openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.pem -pubin -out enc.txt
//通过私钥进行解密
RSA hmily$ openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.pem -out dec.txt

4.5 通过私钥加密数据,公钥解密数据

//通过私钥加密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.pem  -out enc_p.txt
//公钥解密数据
RSA hmily$ openssl rsautl -verify -in enc_p.txt -inkey public.pem -pubin -out dec_p.txt

4.6 颁发证书请求证书(生成csr文件)

   csr,证书签名请求(certificate signing request,也称为CSR或certificate request)是申请人向证书颁发机构发送的一条消息,用于申请数字身份证书。它通常包含需要被颁发证书的公钥、标识信息(例如域名)和完整性保护(例如数字签名)。

//通过私钥生成csr文件,用于请求证书
//同“钥匙串->证书助理->从机构颁发证书请求证书”的操作类似
RSA hmily$ openssl req -new -key private.pem -out rsacert.csr
You are about to be asked to enter information that will be incorporated
into your certificate request.
What you are about to enter is what is called a Distinguished Name or a DN.
There are quite a few fields but you can leave some blank
For some fields there will be a default value,
If you enter '.', the field will be left blank.
-----
Country Name (2 letter code) []:CN
State or Province Name (full name) []:FUJIAN
Locality Name (eg, city) []:XIAMEN
Organization Name (eg, company) []:BISINUOLAN
Organizational Unit Name (eg, section) []:BISINUOLAN
Common Name (eg, fully qualified host name) []:bisinuolan.com
Email Address []:[email protected]

Please enter the following 'extra' attributes
to be sent with your certificate request
A challenge password []:

4.7 颁发签名证书(生成crt文件)

  有CSR必定有KEY,是成对的,CSR最终变成为证书crt,和私钥key配对使用。
  证书下发后,CSR就没有用了,只是在提交的时候需要。 机构签名的证书收费,也可自签名。

//证书请求证书和私钥生成私有签名证书
RSA hmily$ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey private.pem -out rsacer.crt
Signature ok
subject=/C=CN/ST=FUJIAN/L=XIAMEN/O=BISINUOLAN/OU
=BISINUOLAN/CN=bisinuolan.com/[email protected]
Getting Private key

  在密码学中,X.509是定义公钥证书格式的标准。X.509证书用于许多Internet协议,包括TLS/SSL,它是HTTPS(用于浏览web的安全协议)的基础。它们也用于离线应用程序,比如电子签名。一个X.509证书包含一个公钥和一个标识(主机名、组织或个人),由证书颁发机构签名或自签名。当证书由受信任的证书颁发机构签名时,或者通过其他方法进行验证时,持有该证书的人可以依赖于它包含的公钥来与另一方建立安全通信,或者验证由相应私钥数字签名的文档。

4.8 导出p12文件

//利用私钥和签名证书,导出p12文件
RSA hmily$ openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey private.pem -in rsacer.crt
Enter Export Password:
Verifying - Enter Export Password:

5、RSA代码演示

 # 生成证书
 $ openssl genrsa -out ca.key 1024
 # 创建证书请求
 $ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr
 # 生成证书并签名
 $ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt
 # 转换格式
 $ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der
 @endcode

5.1 生成公钥

 # 生成证书
 $ openssl genrsa -out ca.key 1024
 # 创建证书请求
 $ openssl req -new -key ca.key -out rsacert.csr
 # 生成证书并签名
 $ openssl x509 -req -days 3650 -in rsacert.csr -signkey ca.key -out rsacert.crt
 # 转换格式
 $ openssl x509 -outform der -in rsacert.crt -out rsacert.der

5.2 生成私钥

# crt文件转成p12文件
 openssl pkcs12 -export -out p.p12 -inkey ca.key -in rsacert.crt

5.3 RSA加密代码

- (void)viewDidLoad {
    [super viewDidLoad];
    
    //1.加载公钥
    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPublicKey: [[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"rsacert.der" ofType:nil]];
    //2.加载私钥
    [[RSACryptor sharedRSACryptor] loadPrivateKey:[[NSBundle mainBundle] pathForResource:@"p.p12" ofType:nil] password:@"123456"];
}

- (void)touchesBegan:(NSSet *)touches withEvent:(UIEvent *)event {
    //1.加密
    NSData * result = [[RSACryptor sharedRSACryptor] encryptData:[@"hello" dataUsingEncoding:NSUTF8StringEncoding]];
    NSLog(@"加密的结果是:%@",[result base64EncodedStringWithOptions:0]);
    
    //2.解密
    NSData * jiemi = [[RSACryptor sharedRSACryptor] decryptData:result];
    NSLog(@"解密的结果:%@",[[NSString alloc] initWithData:jiemi encoding:NSUTF8StringEncoding]);
}

你可能感兴趣的:(密码学之RSA加密原理解析)