2021-07-08-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P87 例7）
在平面上有个不全共线的点.试证:一定存在一条直线恰好通过这个点中的两个点.
分析
假设结论不成立不妨设其中三点、、都在直线上,且在、之间,为外一点,如图,作.不妨设、在的同侧,再作.易知.如直线上还有第三点,不妨设、在的同侧,且,作,则.由假设,这个过程可以无限地进行下去,而且每次得到的“点到直线的距离”都比前一次小.另一方面,过个点的每两点作一条直线(可能有三点共线),然后由个点中每一点作到这些直线的距离,显然这样的距离只有有限个.于是出现矛盾.至此,我们实际上已找到了本例的一种证明方法.下面我们用最小数原理来改写上面的过程.
证明
由个点中每两点作一条直线(可能出现三点共线),考虑个点中每一点到这些直线的距离所成之集,这样的距离只有有限个,其中必有一个最小者.不妨设点到直线的距离最短.
下面证明:上仅有已知点中的两个点.
若上有已知个点中的三个点,过点作于,则必有两点在点的同侧,设点、点在点的同侧,且.设过点与点的直线为,这时点到的距离小于点到的距离,与假设最小矛盾所以,直线l上仅有已知点中的两个点.即为所求.
2021-07-08-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P88 例8）
在某个星系的每一个星球上,都有一位天文学家在观测最近的星球若每两个星球间的距离都不相等,证明:当星球的个数为奇数时,一定有一个星球任何人都看不到.
证明
设有个星球(同时也表示个天文学家),为奇数.这些星球两两之间的距离所成的集合是有限集,故必有最小值,不妨设最小除、外还有个星球和位天文学家.假若他们当中至少有一位看见已选出的星球.例如看见,如果谁也看不见,则结论成立;否则还有一位天文学家如可看见.如果谁也看不见,结论同样成立;否则还有一位天文学家如可看见.仿此下去由于上述过程中前面星球上的天文学家看不见后面的行星,而是一个有限数,必然有最后一颗星球任何人都看不到.
如果其他天文学家都看不到、,则再从颗星球中选择距离最近的两个.依此类推.因为是奇数,所以最后存在一颗星球,任何人都看不到它.
2021-07-08-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P88 例9）
平面上已给出个点,将连结每两点的线段的中点染成红色.证明至少有个红点.能否找到恰有个红点的点集?
证明
由个点连结每两点的线段只有有限条,所以必有一条最长者设为诸线段中的最长者.
与其他个点连结的线段的中点均在以为圆心,为半径的圆的内部或圆周上.
与其他个点连结的线段的中点均在以为圆心,为半径的圆的内部或圆周上.
所以至少有个中点,即有个红点.
下面我们构造恰有个红点的个点的点集:
在轴上取个点,坐标分别为,则区间内分母为或的有理点就是全部的红点,个数恰为个.
2021-07-08-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P88 例10）
若干名儿童围成一圈,他们手中都拿有一些糖块.规定进行如下传递,每次传递的方法是:如果某人手中糖块数是奇数,则他可再领取一块,然后每人都把手中糖块的一半传给右边的小朋友.求证:一定可以经过若干次传递,使得所有儿童手中的糖块数都相同.
分析
由题设知,在每次传递前,每个儿童手中都有偶数块糖,其中必有最多者和最少者.
证明
不妨设某次传递前手中糖块数最多的人有块,最少的有块,进行一次传递后,结果是
(1)传递后每人手中的糖块数仍在与之间;
(2)原来手中糖块数超过块的,传递后仍然超过块;
(3)至少有一名原来糖块数为的孩子,传递后糖块数超过了.
事实上,圈子中至少有一名拿块糖的孩子的左邻手中糖块数为.传递之后,原拿块糖的孩子手中的糖块数变为.
由于每传递一次,拿块糖的孩子数至少减少,故若干次后,将使所有孩子手中的糖块数都大于当他们都通过领取而使自己手中糖块数为偶数时,孩子手中糖块数的最小值至少上升了.
由于孩子手中糖块数的最大值在传递过程中不增,而经过若干次传递之后最小值至少上升,故知经过多次传递后总可以使最大值与最小值相等,即所有孩子手中的糖块数都相同.
2021-07-08-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P89 例11）
在名选手参加的循环赛中,每两人比赛一场(无平局)试证下列两种情形恰有一种发生:
(1)可将所有选手分成两个非空集合,使得一个集合中的任何一名选手都战胜另一个集合中的所有选手;
(2)可将名选手从到编号,使得第名选手战胜第名选手,,其中将理解为.
证明
显然,(1)和(2)不能同时出现,以下证明(1)和(2)至少有一种出现.
设选手胜场最多.若战胜其他所有选手,则(1)成立,否则必有选手胜.因胜场最多,故必有负于的选手战胜,于是得到一个选手圈:胜,胜,胜.
设这样的圈中含选手数最多的其中之一为,其中胜,胜, ,胜,胜.若,则(2)成立.以下设.令
对任意,或者战胜中所有选手,或者负于中的所有选手.若不然,则存在,使负于,而战胜.不妨设,从而有,,使负于而战胜.但这将导致更长的选手圈,矛盾.再令
,
.
对任意与,若有胜,则可将选手和加入中而得到更长的圈,矛盾,故必有胜.若非空,则令,;若非空,则令,.易见,中的任一名选手都战胜中的所有选手,即(1)成立.