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伴随矩阵的性质

伴随矩阵为：矩阵里的每个元素，求代数余子式，并且转置排列，得到伴随矩阵，标志为A^{*}

AA^{*}=A^{*}A=\left | A \right |E

矩阵A与其伴随矩阵的乘积为 ，行列式的值乘以单位矩阵

————这是伴随矩阵跟原矩阵和行列式的关系

如果A可逆，由此可得A的伴随矩阵与A的逆矩阵直接的关系

\frac{A^{*}A}{\left | A \right |}=\frac{\left | A \right |E}{\left | A \right |}

因为A的行列式是一个数值，所以可以除，无所谓

\frac{A^{*}A}{\left | A \right |}=\frac{\left | A \right |E}{\left | A \right |}=E=\left ( \frac{A^{*}}{\left | A \right |} \right )A

可得A^{-1}= \frac{A^{*}}{\left | A \right |}

所以A的逆等于A的伴随矩阵除以A的行列式

\left | A \right |A^{-1}=A^{*}

这个就是上面推出来的式子将行列式的值换了个位置罢了

A^{-1}\left | A \right |=\frac{A^{*}\left | A \right |}{\left | A \right |}

 行列式就是一个值，随便换位置呗

————这是伴随矩阵跟逆矩阵和行列式的一些关系

下面是一些性质

1、\left | A^{*} \right |=\left | A \right |^{n-1}

A为n阶方阵

A的伴随矩阵的行列式，等于，A的行列式的n-1次方

A^{*}不好表达，我们可以将其用A^{-1}\left | A \right |来表达

所以要求的是\left | A^{-1}\left | A \right | \right |的值

我们知道一个矩阵乘以一个值是遍乘，这个矩阵里的每个数都需要乘以这个值

但是行列式提取数的话，是以一整行或一整列来提取值的

所以将\left | A \right |的值在行列式里提取出来的话就是\left | A \right |^{n}

\left | A^{-1} \right |=\frac{1}{\left | A \right |}  A逆的行列式等于A行列式的倒数，这个很简单，因为A与A逆乘积的行列式为1呀

\left | A^{*} \right |=\left | A^{-1}\left | A \right | \right |=\frac{\left | A \right |^{n}}{\left | A \right |}=\left | A \right |^{n-1}

2、(A^{*})^{-1}=\frac{A}{\left | A \right |}

证明：

求A^{*}的逆，就是求\left | A \right |A^{-1}的逆

\left | A \right |是一个值昂，所以\left | A \right |A^{-1}的逆不就是 \frac{A}{\left | A \right |}

3、(A^{*})^{T}=(A^{T})^{*}

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积，即\left | A \right |A^{-1}

 (\left | A \right |A^{-1})^{T}=\left | A^{T} \right | (A^{T})^{-1}=(A^{T})^{*}

一个行列式*一个逆，那不就是A^{T}的伴随么

4、\left ( kA \right )^{*}=k^{n-1}A^{*}

 遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积，即\left | kA \right |(kA)^{-1}

\left | kA \right |(kA)^{-1}=k^{n}\left | A \right |\frac{1}{k}A^{-1}=k^{n-1}A^{*}

5、(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积

|A^{*}|(A^{*})^{-1}=||A|A^{-1}|(|A|A^{-1})^{-1}=|A|^{n-1}\frac{A}{|A|}=|A|^{n-2}A

6、(AB)^{*}=B^{*}A^{*}

遇到伴随矩阵不好算的，就把它化成行列式与逆的乘积

(AB)^{*}=|AB|(AB)^{-1}=|A||B|B^{-1}A^{-1}=|B|B^{-1}|A|A^{-1}=B^{*}A^{*}

行列式是值，可以随意换位置，所以可以看出，脱括号还是置反顺序的。

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