经典DP问题系列之三：求解资源分配问题（带路径存储）

【问题描述】
某公司有3个商店A, B, C，拟将新招聘的5名员工分配给这3个商店，各商店得到的新员工后每年的赢利情况如表所示，求如何分配才能使利益最大化？

表
（右边数字是每个公司分配0 – 5个人的收益情况）
公司A：0 3 7 9 12 13
公司B：0 5 10 11 11 11
公司C：0 4 6 11 12 12

【思路】
本题也是动态规划的经典题目，这个题还可以换成投资等其他的实际问题，总之，变化很多。这题一拿到手，我就想将数组dp[i][j]设为前i个公司分配j个员工的能获得的最大收益。这就是直觉。

我说过，dp问题中最难的地方就是设状态，即用一种合理的方式定义dp[i][j]数组的含义，一旦这个定义清楚了，推状态转移方程就不是很难，否则很难拿出合理的状态转移方程！

那么我们可以先手动地填一遍这个dp表，填出的结果如图所示

手动填数组这个过程相当重要，填完之后，你就能找到规律，并且也可以明确遍历顺序和边界条件这一系列的关键要素！比如这题，我填完之后就明确了，边界条件肯定是第一行和第一列，遍历顺序一定是先从左到右，再从上到下，状态转移方程可能稍微要想一想。

比如，dp[2][3]它是怎么算出来等于10的呢？经过分析，我们发现，前两个公司分配3个员工，我们可以1.给A公司分配0个员工，B公司分配3个员工；2.给A分配1个，B分配2个；3.给A分配2个，B分配1个；4.给A分配3个，B分配0个。无非就这四种情况，所以算dp[i][j]的时候，肯定还要一重循环，所以这时候，状态转移方程几乎已经推出来了！然后我们再由特殊到一般就行了
状态转移方程写成数学语言应该是：dp[i][j] = max(dp[i - 1][k] + a[i][j - k])(其中：0 <= k <= j)

代码：

/*
3 5
0 3 7 9 12 13
0 5 10 11 11 11
0 4 6 11 12 12
*/
#include
using namespace std;

const int maxn = 100;
int m, n;					//m为商店个数，n为员工个数 
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn][maxn];			//分配员工数和赢利情况的表 
int path[maxn][maxn];		//存储路径，记录分配结果		

//设dp[i][j]表示，前i个商店分配j个员工能获得的最大利益值 
int DP()
{
	//先处理边界1 
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		dp[i][0] = 0;
		path[i][0] = 0;
	}
	//边界2
	for(int j = 1;j <= n;j++)
	{
		dp[1][j] = a[1][j];
		path[1][j] = j;
	}
	
	//再来其他情况，遍历顺序从上到下，从左到右，是常规顺序 
	for(int i = 2;i <= m;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= n;j++)
		{
			int max_res = 0;
			int max_j = 0;
			for(int k = 0;k <= j;k++)			//找出最大的那个 
			{
				if(dp[i - 1][k] + a[i][j - k] > max_res)
				{
					max_res = dp[i - 1][k] + a[i][j - k];
					max_j = j - k;			//记录下本商店在最大利益时分配的人，注意，是j - k表示本商店的分配人数！	
				}
			}
			dp[i][j] = max_res;
			path[i][j] = max_j;
		}
	}
	//打印dp数组
	cout << "dp数组为：" << endl; 
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= n;j++)
		{
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
	
	cout << "path数组为：" << endl; 
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= n;j++)
		{
			cout << path[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return dp[m][n];
}

int main()
{
	cout << "请输入商店个数和员工个数："; 
	cin >> m >> n;
	cout << "请输入各商店分配员工数和赢利情况的表格：" << endl;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= n;j++)
		{
			cin >> a[i][j];
		}
	}
	cout << DP() << "万元" << endl;
	
	//输出具体方案 
	cout << "具体分配方案如下：" << endl; 
	cout << m << "号公司分配" << path[m][n] << "个员工" << endl;
	int r = n - path[m][n];			//剩余的人数 
	for(int i = m - 1;i >= 1;i--)
	{
		cout << i << "号公司分配" << path[i][r] << "个员工" << endl;
		r = r - path[i][r];
	}
	return 0;
}

运行结果：