DP练习题：求解相邻比特数问题（偏难的DP）

【问题描述】
一个n位的01字符串x = x1x2…xn，其相邻比特数由函数：fun(x) = x1x2 + x2x3 + … + xn - 1xn 计算出来，它计算两个相邻的1出现的次数。比如：
fun(011101101) = 3
fun(111101101) = 4
fun(010101010) = 0
编写程序以n和p作为输入，求出长度为n的满足fun(x) = p的x的个数。例如，n = 5, p = 2的结果为6，即x有11100, 01110, 10111, 11101和11011。

【输入描述】
第一个整数n，第二个整数为p

【输入样例】
5 2
20 8

【输出描述】
输出要求的个数

【输出样例】
6
63426

【思路】
最近总结了很多DP的经典题型，现在开始做一些dp题练习练习。这一题刚一拿到，只是觉得有很明显的递归性质，还并没有什么思路。但可以肯定，本题的状态应该就是dp[n][p]这样的，表示满足长度为n的且fun(x) = p的字符串x的个数。那么最后的dp[n][p]就是我们想要的结果了。那状态转移是什么呢？

状态转移方程推导前，我一般喜欢先手动填一遍dp表，由于本题情况较多，填表的时候花费了一些时间，毕竟还要确定没有遗漏和重复。但是最后将dp数表填出之后（只填到了n = 3的，后面情况太多不好填），发现并没有找到什么规律，状态转移方程似乎不能这样找出来，于是，我又陷入了沉思。。。

胡思乱想一段时间后，我觉得还是严谨点从数学角度来想更好点。我们知道一个长度为n的字符串它的fun值为：
fun(n) = x1x2 + x2x3 + … + xn - 2 xn - 1 + xn - 1 xn
长度为n - 1的字符串是这样的：
fun(n - 1) = x1x2 + x2x3 + … + xn - 2 xn - 1
那么第n个字符xn只有两种情况嘛，要么为0，要么为1
因此我想到dp[n][p] = dp0[n][p] + dp1[n][p]，dp0[n][p] 表示满足fun = p的，并且xn为0的字符串个数，dp1[n][p] 表示xn为1的字符串个数，两者结果一加不就正好是所求结果吗？

所以进一步思考，我推导出了这样的分别关于两个数组的两个状态转移方程：
dp0[n][p] = dp1[n - 1][p] + dp0[n - 1][p]
这个方程的意思是：如果字符串的第n个字符xn = 0，那么根据fun(x) = x1x2 + x2x3 + … + xn - 1xn ，不管xn - 1为0或者1，只要这个字符串的前n - 1项满足fun值为p即可。因为此时的xn - 1 xn一定等于0了

然后dp1[n][p] = dp1[n - 1][p - 1] + dp0[n - 1][p]
这个的意思：如果第n个字符xn = 1，那么前n - 1项的fun值可以为p - 1，只要xn - 1 = 1即可，或者前n - 1项的值为p，那么只要xn - 1 = 0即可。就是由这两个情况组成的。因为此时的xn - 1 xn可能等于0或1

然后数组p = 0的这一列为边界，要优先填充，第一行和第二行的值也要手动填充，把这些边界的值填充完之后，其他位置的值带入状态转移方程中计算才能正确。
这题的特点就是我设了两个dp数组，一个表示字符串最后一个字符为0的，一个标示字符串最后一个字符为1的，与以前的题都不一样

参考代码：

#include
using namespace std;

int n, p;
const int maxn = 100;
int dp0[maxn][maxn];
int dp1[maxn][maxn];

int DP()
{
	//先解决边界 
	dp0[1][0] = 1;		//长度为1，比特值为0，以0结尾的只有一个：0
	dp1[1][0] = 0;		//这种是不存在的
	dp0[2][0] = 2;
	dp1[2][0] = 1;
	//把比特数为0的所有的都可以填进去了
	for(int i = 3;i <= n;i++)
	{
		dp0[i][0] = dp0[i - 1][0] + dp1[i - 1][0];
		dp1[i][0] = dp0[i - 1][0];
	}
	//再把前两行的边界处理掉
	dp1[1][1] = 1;
	dp1[2][1] = 1;
	
	//else常规情况了
	for(int i = 3;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= p;j++)
		{
			dp0[i][j] = dp1[i - 1][j] + dp0[i - 1][j];
			dp1[i][j] = dp1[i - 1][j - 1] + dp0[i - 1][j];
		}
	} 
	cout << "dp0数组：" << endl;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= p;j++)
		{
			cout << dp0[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	} 
	cout << "********" << endl;
	cout << "dp1数组：" << endl;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		for(int j = 0;j <= p;j++)
		{
			cout << dp1[i][j] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	return dp0[n][p] + dp1[n][p];		//返回以0结尾和以1结尾结果之和即是答案！ 
}

int main()
{
	cin >> n >> p;
	cout << DP() << endl;
	return 0;
}

本题时间复杂度O(np)，空间复杂度O(np)，原题给的数据量n和p都是小于100的，所以应该时间空间都没有问题，测试数据试了几组也是对的

运行结果

检验了一遍，两个dp数组的结果没有问题

下面是n = 20 ， p = 8的运行结果（数组就不打印了，太长）