算法提高-树状数组

树状数组的两个作用

• 快速求区间和
• 快速修改某一个数同时可以快速修改区间和
• tr[i]记录的区间的长度是lowbit(i)
  

241. 楼兰图腾（区间求和 + 单点修改）

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 2e5 + 10;
int tr[N];
int a[N];
int n;
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x)//统计下标为1-x的前缀和
{
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}



void solve()
{
    scanf("%d", &n);
    vector<int> Greater(N+1);//y的取值正好也是1-n，否则就需要离散化了
    vector<int> lower(N+1);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
    {
        int y = a[i];
        Greater[i] = sum(n) - sum(y);//遍历到a[i]的时候，下标为(1, n)在n～y+1之间的数有几个
        lower[i] = sum(y-1);遍历到a[i]的时候，从1～y-1之间的数有几个
        add(y, 1);//遍历完a[i]后，将a[i]出现的次数加1，我们前缀和sum
    }

    memset(tr, 0, sizeof tr);
    
    typedef long long LL;
    LL res1 = 0, res2 = 0;
    for (int i = n; i; -- i)//逆向遍历
    {
        res1 += Greater[i] *(LL)(sum(n) - sum(a[i]));//记录下标在（n, i）之间有多少个数字大于a[i]
        res2 += lower[i] * (LL)(sum(a[i]-1));
        add(a[i], 1);
    }
    cout << res1 << " "<< res2;
}
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}

242. 一个简单的整数问题（差分+推公式 实现 维护区间修改+单点求和）

树状数组擅长的是单点加然后求区间和，本题是区间加然后求单点和；

• 在原数组上求某个点的值 = 求差分数组的前缀和
• 在原数组上更改某个区间的值 = 修改差分数组两个端点的值
  为了将我们对原数组的操作转化为经典的树状数组的操作（修改单点的值， 求一个区间的和），我们这里tr[]维护的就是a[]的差分数组。

差分数组b[]和原数组a[]的关系

用树状数组实现前缀和 脱裤子放屁多此一举版本
事实上能写出这种代码还是没有理解树状数组的作用是啥，树状数组的作用就是区间求和和单点修改，使得区间求和和单点修改的复杂度都不至于太慢。
数组的区间求和复杂度是n，单点修改复杂度是1
前缀和的区间求和复杂度是1，单点修改的复杂度是n;
树状数组的区间求和和单点修改的复杂度都是logn。
本题是区间修改和单点求和，这显然不是树状数组的正常操作，即我们树状数组不能去维护a[]，而是应该去维护他的差分数组b[]

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
int a[N];
LL tr[N];
int n, m;
// 10 5
// 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
// Q 4
// Q 1
// Q 2
// C 1 6 3
// Q 2
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
LL presum(int x)
{
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res ;
}
void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
    {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i]);
    }
    char op[2];
    while (m -- )
    {
        cin >> op;
        int l, r, x;
        if (*op == 'Q')
        {
            cin >> x;
            cout << presum(x) - presum(x - 1)<< endl;//这不就是前缀和么，虽然查找是1，但是修改就很大了，
        }                                           //我用树状数组多次一举的话更大
        else 
        {
            cin >> l >> r >> x;
            for(int i = l; i <= r; ++ i)//可以看到前缀和的话修改操作的复杂度是n^2logn
            {
                add(i, x);
            }
            
        }
    }

}
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}

ac代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
int a[N];
LL tr[N];
int n, m;
// 10 5
// 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
// Q 4
// Q 1
// Q 2
// C 1 6 3
// Q 2
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
LL presum(int x)
{
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res ;
}
void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
    {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i] - a[i - 1]);
    }
    char op[2];
    while (m -- )
    {
        cin >> op;
        int l, r, x;
        if (*op == 'Q')
        {
            cin >> x;
            cout << presum(x) << endl;//这不就是前缀和么，虽然查找是1，但是修改就很大了，
        }                                           //我用树状数组多次一举的话更大
        else 
        {
            cin >> l >> r >> x;
            add(l, x);add(r + 1, -x);
        }
    }

}
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}

243. 一个简单的整数问题2（区间修改和区间求和）

• 区间求和 + 单点修改 = 普通树状数组（对前缀和以及普通数组的优化）
• 区间修改 + 单点求和 = 树状数组维护差分数组（这样的话区间修改就可以对应到单点修改差分数组，单点求和就可以对应到区间求差分数组的和）
• 区间求和 + 区间修改 = 维护两个树状数组，一个用维护差分数组b[i]（可以做到区间修改），一个维护i*b[i]，推公式可以得出对a[]数组区间求和就是下面这个公式
  
  还不懂的话可以看下面这段解释
  

因为多维护一个i * b[i], add函数里面的c可能会爆int，所以要强转一下
经验：

• 如果过了样例数据也过了大部分，那就看一下是不是没开longlong

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 10;
typedef long long LL;
int a[N];
LL tr[N], tri[N];
int n, m;

int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(LL tree[], int x, LL c)//开LL
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tree[i] += c;
}
LL presum(LL tree[], int x)
{
    LL res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tree[i];
    return res ;
}
LL prefixsum (int x)
{
    return presum(tr, x) * (x + 1) - presum(tri, x);
}
void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) 
    {
        cin >> a[i];
        add(tr, i, a[i] - a[i - 1]);
        add(tri, i, (LL)i * (a[i] - a[i - 1]));//开LL
    }
    char op[2];
    while (m -- )
    {
        cin >> op;
        int l, r, x;
        if (*op == 'Q')
        {
            cin >> l >> r;
            cout << prefixsum(r) - prefixsum(l - 1) << endl;
        }
        else 
        {
            cin >> l >> r >> x;
            add(tr, l, x); add(tr, r + 1, -x);
            add(tri, l, l * x); add(tri, r + 1, (r + 1) * (-x));
        }
    }

}
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}

AcWing 244. 谜一样的牛（用二分查找想要的状态 + 树状数组动态记录当前区间的状态）

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
const int N = 1e5 + 10;
int tr[N], pos[N];
int n;
// 5
// 1
// 2
// 1
// 0
int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}
void add(int x, int c)
{
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
int presum(int x)//树状数组的本质就是求前缀和
{
    int sum = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) sum += tr[i];
    return sum;
}
int find(int k)//
{
    int l = 1, r = n;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (presum(mid) >= k) r = mid;//求高度为1到n之间高度为mid的牛之前有多少头牛还没有被用过，其实也就是求高度为mid的牛在当前剩下的牛中是否为第k高的牛
        else l = mid + 1;           //因为我们求的是第一个第k高的牛，那么当前搜索的高度为mid的牛一定是还没有确定位置的牛
    }
    return l;
}
void solve()
{
    cin >> n;
    add(1, 1);
    for (int i = 2; i <= n; ++ i)
    {
        cin >> pos[i];
        add(i, 1);//单点修改tr[i] = 1，同时对i后面的树状数组造成影响。树状数组的本质就是前缀和，同时单点修改的复杂度也不低不高
    }
    vector<int> ans(n + 1);
    for (int i = n; i; -- i)
    {
        int height;
        height = find(pos[i] + 1);//找到当前在剩下的牛中第pos + i高的牛，它的高度是height
        ans[i] = height;
        add(height, -1);//表明这个height这个高度的牛已经用过了，他会对1-n中高度 >height的牛的前缀和造成影响
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cout << ans[i] << endl;
}
int32_t main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int T = 1;
    // cin >> T;
    while (T --) solve();
    return 0;
}