Jacobi迭代法求解线性方程组

Jacobi迭代法

  求解线性方程组 $\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$，其中$\mathbf{A}$是$n\times n$维可逆系数矩阵，$\mathbf{b}$是$n$维列向量。
  将系数矩阵$\mathbf{A}$分裂为 $$\mathbf{A}=\mathbf{D}+\mathbf{L}+\mathbf{U}，$$ 其中，$\mathbf{D}=\text{diag}(a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn})，$ L = [ 0 0 0 ⋯ 0 a 21 0 0 ⋯ 0 a 31 a 32 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n , n − 1 0 ] ， U = [ 0 a 12 a 13 ⋯ a 1 n 0 0 a 23 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 a n − 1 , n 0 0 ⋯ 0 0 ] 。 \boldsymbol{L}= \begin{bmatrix} 0&0&0&\cdots&0 \\ a_{21}&0&0&\cdots&0 \\ a_{31}&a_{32}&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n,n-1}&0 \end{bmatrix}， \boldsymbol{U}= \begin{bmatrix} 0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ 0&0&a_{23}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\ 0&0&\cdots&0&a_{n-1,n}\\ 0&0&\cdots&0&0 \end{bmatrix}。 L= ​0a21​a31​⋮an1​​00a32​⋮an2​​000⋱⋯​⋯⋯⋯⋱an,n−1​​000⋮0​ ​，U= ​00⋮00​a12​0⋮00​a13​a23​⋱⋯⋯​⋯⋯⋱00​a1n​a2n​⋮an−1,n​0​ ​。 Jacobi迭代法的矩阵表示为 $${\mathbf{x}}^{(k+1)}=-{\mathbf{D}}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U}){\mathbf{x}}^{(k)}+{\mathbf{D}}^{-1}\mathbf{b}，$$其中，$-{\mathbf{D}}^{-1}(\mathbf{L}+\mathbf{U})$被称为迭代矩阵。上述矩阵表示可以展开成分量形式 $$x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k)})。$$   定理1：迭代法对任意初始向量${\mathbf{x}}^{(0)}$都收敛的充分必要条件是迭代矩阵的谱半径小于1。
  定理2：若$\mathbf{A}$为严格对角占优，或不可约对角占优矩阵，则Jacobi迭代法收敛。

C语言实现Jacobi迭代法

void jacobi(const Matrix *A, const Matrix *b, Matrix *x, const int it)
{
	double tmp = 0;
	int r = 0, c = 0;
	double *x_tmp = (double *)malloc(sizeof(double) * x->row);
	for (int k = 0; k < it; k++)
	{
		for (r = 0; r < A->row; r++)
		{
			tmp = 0;
			for (c = 0; c < A->column; c++)
			{
				if (c != r)
					tmp += A->data[r * (A->column) + c] * x->data[c];
			}
			x_tmp[r] = (b->data[r] - tmp) / (A->data[r * (A->column) + r]);
		}
		memcpy(x->data, x_tmp, sizeof(double) * x->row);
	}
	free(x_tmp);
}