第三章，矩阵，07-用初等变换求逆矩阵、矩阵的LU分解

玩转线性代数(19)初等矩阵与初等变换的相关应用的笔记，例见原文

一个基本的方法

已知：$A^r\sim F$，求可逆阵$P$，使$PA=F$ ($F$为$A$的行最简形)
方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P.
步骤：
（1）对矩阵A进行l次初等行变换至行最简形：
$A^r\sim F$，即$P_l...P_2{P}_1{A}^r=F$
（2）求$P=P_l...P_2{P}_1$
将$(A,E)$看成分块矩阵，后面的E为记录器，对分块矩阵$(A,E)$进行初等行变换：
$(A,E)\to P_l...P_2{P}_1(A,E)\to (P_l...P_2{P}_{1}A,P_l...P_2{P}_1)\to (PA,P)\to (F,P)$
即当A化为F后E化为P。
那么若A可逆，$A^{-1}A=E$，即将A化为单位阵，右边的E就化为$A^{-1}$

求$A^{-1}B$

即将上面的“记录器”E换为B，将A化为E的一系列行变换操作（等效于左乘$A^{-1}$）全部作用到B上
$A^{-1}(A,B)=(E,A^{-1}B)$

LU分解

假设A是m*n矩阵并且可以化简为行阶梯形而不必经过行对换或数乘，则A可以分解成如下的形式：
A = ( 1 0 0 0 ∗ 1 0 0 ∗ ∗ 1 0 ∗ ∗ ∗ 1 ) ( ■ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ■ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ■ ∗ 0 0 0 0 0 ) = L U A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\* & 1 & 0 & 0 \\* & * & 1 & 0\\* & * & * & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \blacksquare & * & * & * & * \\0 & \blacksquare & * & * & * \\0 & 0 & 0 & \blacksquare & *\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =LU A= ​1∗∗∗​01∗∗​001∗​0001​ ​ ​■000​∗■00​∗∗00​∗∗■0​∗∗∗0​ ​=LU
L是单位下三角矩阵，主对角线元素全是1，它其实是一系列$E(ij(k))$类型初等矩阵的乘积，L可逆；U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。

例1，求矩阵A的LU分解：

令
A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix} A= ​214​45−1​229​ ​
则
( A , E ) = ( 2 4 2 1 0 0 1 5 2 0 1 0 4 − 1 9 0 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 − 9 5 − 2 0 1 ) ∼ ( 2 4 2 1 0 0 0 3 1 − 1 2 1 0 0 0 8 − 7 2 3 1 ) = ( U , p ) (A,E)=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 9 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & -9 & 5 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & -\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 & -\frac{7}{2} & 3 & 1 \end{pmatrix} =(U, p) (A,E)= ​214​45−1​229​100​010​001​ ​∼ ​200​43−9​215​1−21​−2​010​001​ ​∼ ​200​430​218​1−21​−27​​013​001​ ​=(U,p)
故$U=PA\Rightarrow A=P^{-1}U$，有
A = ( 2 4 2 1 5 2 4 − 1 9 ) = ( 1 0 0 1 2 1 0 2 − 3 1 ) ( 2 4 2 0 3 1 0 0 8 ) = L U A= \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 5 & 2 \\ 4 & -1 & 9 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{2} & 1 & 0\\ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}=LU A= ​214​45−1​229​ ​= ​121​2​01−3​001​ ​ ​200​430​218​ ​=LU

例12，LU分解解线性方程组：

将系数矩阵进行LU分解，然后分两步解出方程

在具体求解时要使用数学软件来求，计算机解线性方程组时就采用LU分解．手动进行LU分解当然是比较麻烦的.