【贪心算法】背包问题--可分割

【问题描述】

给定一个载重量为M的背包，考虑n个物品，其中第i个物品的重量 ，价值wi （1≤i≤n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。

有两类背包问题（根据物品是否可以分割），如果物品不可以分割，称为0—1背包问题（动态规划）；如果物品可以分割，则称为背包问题（贪心算法）。

【算法分析】

假设背包的容量为50，有3个物品：

有3种方法来选取物品：
（1）当作0—1背包问题，用动态规划算法，获得最优值220；
（2）当作0—1背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底顺序选取物品，获得最优值160。由于物品不可分割，剩下的空间白白浪费。
（3）当作背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底的顺序选取物品，获得最优值240。由于物品可以分割，剩下的空间装入物品3的一部分，而获得了更好的性能。

【算法分析】

数据结构：

struct bag{
	int w;			//物品的重量
	int v;			//物品的价值
	double c;		//性价比
}a[1001];			//存放物品的数组

排序因子（按性价比降序）：

bool cmp(bag a, bag b){
	return a.c >= b.c;
}

使用标准模板库函数排序（最好使用stable_sort()函数，在性价比相同时保持输入的顺序）：

sort(a, a+n, cmp);

计算背包问题的贪心算法

//形参n是物品的数量，c是背包的容量M，数组a是按物品的性价比降序排序
double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
　　double cleft = c;　　　　　　　　//背包的剩余容量
　　int i = 0;
　　double b = 0;　　　　　　　　　　//获得的价值
　　//当背包还能完全装入物品i
　　while(i<n && a[i].w<cleft)
　　{
　　　　cleft -= a[i].w;
　　　　b += a[i].v;
　　　　i++;
　　}
　　//装满背包的剩余空间
　　if (i<n) b += 1.0*a[i].v*cleft/a[i].w;
　　return b;
}

获得做优解向量：
如果要获得最优解向量 ，则需要在数据结构中加入物品编号：

struct bag{
	int w;
	int v;
	double x;		//装入背包的量，0≤x≤1
	int index;		//物品编号
	double c;
}a[1001];

计算背包问题的贪心算法，同时得到解向量：

double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
　　double cleft = c;
　　int i = 0;
　　double b = 0;
　　while(i<n && a[i].w<=cleft)
　　{
　　　　cleft -= a[i].w;
　　　　b += a[i].v;
　　　　//物品原先的序号是a[i].index，全部装入背包
　　　　a[a[i].index].x = 1.0;
　　　　i++;
　　}
　　if (i<n)　{
　　　　a[a[i].index].x = 1.0*cleft/a[i].w;
　　　　b += a[a[i].index].x*a[i].v;
　　}
　　return b;
}

【算法的完整实现】

#include
#include
using namespace std;

struct bag{
	int w;
	int v;
	double c;
}a[1001];
	
bool cmp(bag a,bag b){
	return a.c >= b.c;
}

double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
	double cleft = c;
	int i = 0;
	double b = 0;
	while(i<n && a[i].w<cleft)
	{
		cleft -= a[i].w;
		b += a[i].v;
		i++;
	}
	if (i<n) b += 1.0*a[i].v*cleft/a[i].w;
	return b;
}

int main()
{
	int c;
	int n;
	int i;
	while(scanf("%d %d", &c, &n) && c)
	{
		for(i=0; i<n; i++)
		{
			scanf("%d%d", &a[i].w, &a[i].v);
			a[i].c = 1.0*a[i].v/a[i].w;
		}
		sort(a, a+n, cmp);
		printf("%15.3lf\n\n", knapsack(n,a,c));
	}
	return 0;
}

#include
#include
using namespace std;

struct bag{
	int w;
	int v;
	double x;
	int index;
	double c;
}a[1001];
	
bool cmp(bag a,bag b){
	if(a.c >b.c) return true;
	return false;
}

double knapsack(int n, bag a[], double c)
{
	double cleft = c;
	int i = 0;
	double b = 0;
	while(i<n && a[i].w<=cleft)
	{
		cleft -= a[i].w;
		b += a[i].v;
		a[a[i].index].x = 1.0;
		i++;
	}
	if (i<n) 
	{
		a[a[i].index].x = 1.0*cleft/a[i].w;
		b += a[a[i].index].x*a[i].v;
	}
	return b;
}

int main()
{
	int c;
	int n;
	int i;
	while(scanf("%d %d", &c, &n) && c)
	{
		for(i=0; i<n; i++)
		{
			scanf("%d%d", &a[i].w, &a[i].v);
			a[i].c = 1.0*a[i].v/a[i].w;
			a[i].x = 0;
			a[i].index = i;
		}
		sort(a, a+n, cmp);
		knapsack(n,a,c);
		printf("%15.3lf\n", knapsack(n,a,c));
		for(i=0; i<n; i++)     //获取最优解
			if (a[i].x==0) printf("0 ");
			else if (a[i].x==1) printf("1 ");
			else printf("%.3lf ", a[i].x);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}