第三章，矩阵，09-线性方程组解的判断与求法、矩阵方程

玩转线性代数(21)线性方程组解的判断与求法的笔记，相关证明以及例子见原文

定理

对n元线性方程组$Ax=b$，A为系数矩阵，$B=(A|b)$为增广矩阵，则有
（1）$Ax=b$无解$\iff R(A)<R(A,b)$;
（2）$Ax=b$有唯一解$\iff R(A)=R(A,b)=n$;
（3）$Ax=b$有无穷多解$\iff R(A)=R(A,b)<n$.

推论1

对n元线性方程组$Ax=b$，A为系数矩阵，$B=(A|b)$为增广矩阵，则有
（1）$Ax=b$无解$\iff R(A)<R(A,b)$;
（2）$Ax=b$有解$\iff R(A)=R(A,b)$.

推论2

对n元线性方程组$Ax=b$，A为系数矩阵，或A为方阵，则有：
（1）$Ax=b$有唯一解$\iff R(A)=n\iff |A|\ne 0$，其解为$x=A^{-1}b$; ($R(A)=R(B)=n$);
（2）$|A|=0\iff$有无穷多解或无解.

推论3

对n元线性方程组$Ax=0$，A为系数矩阵，方程必有零解，故不存在无解的情况，另外增广矩阵的最后一列为零，故其秩与系数矩阵A相同。
（1）$Ax=0$只有零解$\iff R(A)=n$;
（2）$Ax=0$有非零解$\iff R(A)<n$.
如果推论3中的A为方阵，则又有如下结论：

推论4

对n元线性方程组$Ax=0$，A为系数矩阵且为方阵，则有
（1）$Ax=0$只有零解$\iff R(A)=n\iff |A|\ne 0$;
（2）$Ax=0$有非零解$\iff R(A)<n\iff |A|=0$.

矩阵方程AX=B

解法

若A是方阵，先确定A是否可逆，若A可逆，则有唯一解$X=A^{-1}B$
若A不是方阵或不可逆，这时需要用待定元素法来求解。设未知矩阵X的元素为$x_{ij}$，即$X=(x_{ij})$，然后根据所给的矩阵方程列出$x_{ij}$所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素$x_{ij}$,从而得到X.

解的存在性

设A为m * n矩阵，X为n * l矩阵，则B为m * l矩阵，把X和B按列分块，记为
$X=(x_1,x_2,...,x_l),B=(b_1,b_2,...b_l)$，
则矩阵方程$AX=B$等价于l个向量方程
$A{x}_i=b_i,(i=1,2,...l)$，
又设$R(A)=r$，且A的行最简形矩阵为$\tilde{A}$，则$\tilde{A}$一定有r个非零行。
再设$(A,B)=(A,b_1,b_2,...,b_i{)}_{\sim }^r(\tilde{A},{\tilde{b}}_1,{\tilde{b}}_2,...,{\tilde{b}}_l)$
从而$(A,b_i{)}_r^{\sim }(\tilde{A},{\tilde{b}}_i),(i=1,2,...,l)$
则$AX=B$有解
$\iff$$A{x}_i=b_i$有解，$(i=1,2,...,l)$
$\iff$$R(A)=R(A,b_i),(i=1,2,...,l)$
$\iff$将$(A,b_i)$化为行最简形$(\tilde{A},{\tilde{b}}_i)$,此时${\tilde{b}}_i$的后m-r行全为零，$(i=1,2,...,l)$.
$\iff$ $(\tilde{A},{\tilde{b}}_1,{\tilde{b}}_2,...,{\tilde{b}}_l)$的后m-r行全为零，
$\iff$ $R(A)=R(A,B)$.

推论

设$AB=C$，则$R(C)\le min\{R(A),R(B)\}$
证明：
$\because AB=C,\therefore AX=B$有解$\Rightarrow R(A)=R(A,C)\ge R(C)$
又$B^T{A}^T=C^T\therefore B^{T}X=C^T$有解$\Rightarrow R(B)=R(B^T)=R(B^T,c^T)\ge R(C^T)=R(C)$
$\therefore R(C)\le min\{R(A),R(B)\}$.