高中奥数 2021-11-01

2021-11-01-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题01）

设的内切圆与切于点,是圆上的点,且为圆的直径,过作圆的切线与交于点,过作圆的不同于的切线,切点为.证明的外接圆与圆切于点.

证明

显然,.

下设.

如图,设圆与、分别切于点、,且设与交于点.

图1

则是点关于圆的极线上的点.

由配极原则知,也是点关于圆的极线上的点.

因为点在点关于圆的极线上,所以,关于圆的极线为.

同理,设与交于点,则关于圆的极线为.

由于与为同一条直线,因此,.

因为,,,是调和点列,且,所以,是的角平分线.

设、分别与圆交于点、则为弧的中点.

于是,.

由,知与的外接圆切于点.

从而,的外接圆与圆切于点.

2021-11-01-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题02）

圆与圆交于、两点.过点的直线交圆于且切圆于,切圆于,圆的弦与直线垂直.过作垂直于,为垂足.求证:平分线段.

证明

如图,延长交于,对于,由是切线,知,直线是的极线,故是过点的的切线.

图2

由配极定理3知四边形为调和四边形.

由配极定理2,、、、成调和线束.

设与交点为,连、、,又,所以、、、四点共圆.

于是,故,即,结合、、、成调和线束知平分.

2021-11-01-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题03）

凸四边形外切于,、、、上的切点分别是、、、,直线与相交于点.求证:.

证明

如图,以为基圆,易知是的极线,是的极线.

图3

而与交于,因此点既在点极线上,也在点极线上由配极性质1知,故、都在点极线上,从而即为点的极线.

因此.

原命题得证.

2021-11-01-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 反演与配极 P098 习题04）

是的重心,、分别是、的中点.设和的外接圆相交于和,的外接圆交于.求.

解

以为反演中心,单位长度为反演幂,并记点的反象为.

则由、、、四点共圆及定理5知、、三点共线.

同理、、也共线.

又.

所以为的中点,同理为中点,于是为的重心.

反演后的图形成为图(右),于是.

图4