第十六讲 数据结构之二叉树（四）

霍夫曼树

霍夫曼树是二叉树的一种特殊形式，又称为最优二叉树，其主要作用在于数据压缩和编码长度的优化。

重要概念

路径和路径长度

在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

图1

图1所示二叉树结点A到结点D的路径长度为2，结点A到达结点C的路径长度为1。

结点的权及带权路径长度

若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
图2展示了一棵带权的二叉树

图2

树的带权路径长度

树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
图2所示二叉树的WPL：
WPL = 6 * 2 + 3 * 2 + 8 * 2 = 34；

霍夫曼树

定义

给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为霍夫曼树(Huffman Tree)。
如图3所示两棵二叉树

图3

叶子结点为A、B、C、D，对应权值分别为7、5、2、4。
3.1.a树的WPL = 7 * 2 + 5 * 2 + 2 * 2 + 4 * 2 = 36
3.1.b树的WPL = 7 * 1 + 5 * 2 + 2 * 3 + 4 * 3 = 35
由ABCD构成叶子结点的二叉树形态有许多种，但是WPL最小的树只有3.1.b所示的形态。则3.1.b树为一棵霍夫曼树。

构造霍夫曼树

构造霍夫曼树主要运用于编码，称为霍夫曼编码。现考虑使用图3中ABCD结点以及对应的权值构成如下长度编码。
AACBCAADDBBADDAABB。
编码规则:从根节点出发，向左标记为0，向右标记为1。
采用上述编码规则，将图3编码为图4所示：

图4

构造过程：
3.1.a所示二叉树称为等长编码，由于共有4个结点，故需要2位编码来表示，编码结果为：

结点	编码
A	00
B	01
C	10
D	11

则AACBCAADDBBADDAABB对应编码为：
00 00 10 01 10 00 00 11 11 01 01 00 11 11 00 00 01 01
长度为36。
3.1.b构造过程如下：
1）选择结点权值最小的两个结点构成一棵二叉树如图5：

图5

2）则现在可以看作由T1，A，B构造霍夫曼树，继续执行步骤1。
选则B和T1构成一棵二叉树如图6：

图6

3）现只有T2和A两个结点，继续执行步骤1。
选择A和T2构成一棵二叉树如图7：

图7

经过上述步骤则可以构造完一棵霍夫曼树。通过观察可以发现，霍夫曼树中权值越大的结点距离根结点越近。
按照图7霍夫曼树编码结果：

结点	编码
A	0
B	10
C	110
D	111

则AACBCAADDBBADDAABB对应编码为：
0 0 110 10 110 0 0 111 111 10 10 0 111 111 0 0 10 10
编码长度为35。
由此可见，采用二叉树可以适当降低编码长度，尤其是在编码长度较长，且权值分布不均匀时，采用霍夫曼编码可以大大缩短编码长度。

代码实现

• 树结点

/**
 * 树节点
 * 
 * @author wangxiaojian
 * 
 * @param 
 */
public class Node implements Comparable> {
    private T data;
    private int weight;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(T data, int weight) {
        this.data = data;
        this.weight = weight;
    }

    @Override
    public String toString() {
        // TODO Auto-generated method stub
        return "data:" + this.data + ",weight:" + this.weight + ";   ";
    }

    @Override
    public int compareTo(Node o) {
        // TODO Auto-generated method stub
        if (o.weight > this.weight) {
            return 1;
        } else if (o.weight < this.weight) {
            return -1;
        }
        return 0;
    }

    public T getData() {
        return data;
    }

    public void setData(T data) {
        this.data = data;
    }

    public int getWeight() {
        return weight;
    }

    public void setWeight(int weight) {
        this.weight = weight;
    }

    public Node getLeft() {
        return left;
    }

    public void setLeft(Node left) {
        this.left = left;
    }

    public Node getRight() {
        return right;
    }

    public void setRight(Node right) {
        this.right = right;
    }

}

• HuffmanTree

import java.util.ArrayList;
import java.util.Collections;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;

public class HuffmanTree {

    public static  Node createTree(List> nodes) {
        while (nodes.size() > 1) {
            Collections.sort(nodes);
            Node left = nodes.get(nodes.size() - 1);
            Node right = nodes.get(nodes.size() - 2);
            Node parent = new Node(null, left.getWeight()
                    + right.getWeight());
            parent.setLeft(left);
            parent.setRight(right);
            nodes.remove(left);
            nodes.remove(right);
            nodes.add(parent);
        }
        return nodes.get(0);
    }

    public static  List> breath(Node root) {
        List> list = new ArrayList>();
        Queue> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node pNode = queue.poll();
            list.add(pNode);
            if (pNode.getLeft() != null) {
                queue.add(pNode.getLeft());
            }
            if (pNode.getRight() != null) {
                queue.add(pNode.getRight());
            }
        }
        return list;
    }

}

总结

本文主要介绍了霍夫曼树的实际意义和如何构造一棵二叉树。学习霍夫曼树主要是掌握霍夫曼树的构造思想以及构造过程，至于代码实现则是次要的，而且霍夫曼编码实现过程中运用到了贪心算法。