THUPC部分题解

THUPC2023初赛

B. 拧螺丝

• 考虑如何暴搜，从最终状态只有唯一的 $n$ 倒序还原回去，相当于不断执行以下操作直到没有螺丝：
  1. 执行以下操作 $k$ 次：
     • 找到当前含有最多螺丝的工件，将螺丝数减一
  2. 将当前含有最多螺丝的工件复制一份
• 设 $f_k(n)$ 表示参数为 $(n,k)$ 的答案，查询 OEIS 可知 $f_k(1)=1,f_k(n)=\lceil \frac{\sum _{i=1}^{n-1}{f}_k(i)}{k-1}\rceil (n>1)$，压位高精实现即可。
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C. 快速 LCM 变换

• 设 $v_p(A)$ 表示 $A$ 的质因数分解中 $p$ 的次数，设 $M(p)=\underset{1\le i\le n}{\max }\{v_p(a_i)\}=v_p(a_x)$,$m(p)=\underset{1\le i\le n,i\ne x}{\max }\{v_p(a_i)\}=v_p(a_y)$ 。

  • 若 $M(p)\ne m(p)$，则当 $a_x$ 被选择时会使 LCM 乘上 $\frac{1}{p^{M(p)-m(p)}}$，否则 LCM 不变。
  • 若 $M(p)=m(p)$，则当 $a_x$ 和 $a_y$ 同时被选择时会使 LCM 乘上 $p^{v_p(2p^{M(p)})-M(p)}$，否则 LCM 不变。

• 进一步分析，设 $P$ 为质数集合，原序列的最小公倍数为 $LC{M}_0$，令
  $$\begin{gathered} f(a_i)=\prod _{p\in P}{p}^{[v_p(a_i)=M(p)](m(p)-M(p))} \\ g(a_i+a_j)=\prod _{p\in P}{p}^{[v_p(a_i)=M(p)][v_p(a_j)=M(p)](v_p(2p^{M(p)})-M(p))}=\prod _{p\in P}{p}^{\max \{v_p(a_i+a_j)-M(p),0\}} \end{gathered}$$

• 则答案可表示为：
  $$LC{M}_0\left(\sum _{1\le i<j\le n}f(a_i)f(a_j)g(a_i+a_j)\right)$$

• 由于结果仅和 $a_i,a_j,a_i+a_j$ 有关，考虑生成函数 $F(x)=\sum _{i=1}^{n}f(a_i)x^{a_i}$，不难将答案表示为：
  $$LC{M}_0\left(\sum _v[x^v]\left(\frac{1}{2}(F^2(x)-\sum _{i=1}^n{f}^2(a_i)x^{2a_i})\right)g(v)\right)$$

• 直接对 $F(x)$ 做多项式乘法即可，时间复杂度 $\mathcal{O}((n+\underset{1\le i\le n}{\max }\{a_i\})\log \underset{1\le i\le n}{\max }\{a_i\}))$。

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L. 最后的活动

• 设 $f_{k,i,s}$ 表示距离目标分数为 $k$ 分时、当前在第 $i$ 层、前 $i-1$ 层获得的评价状态为 $s$ 的最大概率，$k$ 从小到大枚举，而 $i$ 从大到小枚举，转移方程较多这里不再详细列举。
• 对于固定的 $k$，注意到若 $c^{\prime }=0$，任意的 $f_{k,i,s}$ 都可由 $f_{k,1,0}$ 转移来，进一步地，任意的 $f_{k,i,s}$ 表示为 $f_{k,1,0}$ 的一次函数（系数非负）和 $\max$ 的嵌套形式，用常规化的迭代法相当麻烦，考虑二分 $f_{k,1,0}$，若迭代后求得的 $f_{k,1,0}^{\prime }>f_{k,1,0}$ 则说明真实的 $f_{k,1,0}$ 应当更大些。
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