【数据结构与算法】十大经典排序算法-堆排序

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堆排序是一种高效的排序算法，基于堆数据结构实现。堆是一种特殊的树状结构，具有以下特点：父节点的值大于等于（或小于等于）其子节点的值。堆排序利用堆的性质，将数组看作一个完全二叉树，通过构建最大堆（或最小堆），实现对数组的排序。

基本思想

这里采用五分钟学算法大佬的图解，十分清晰

1. 构建初始堆：将待排序数组视为一个完全二叉树，从最后一个非叶子节点开始，逐步将树调整为大顶堆（或小顶堆）。
2. 排序过程：将堆顶元素与最后一个叶子节点交换，然后将堆大小减一，继续调整堆结构，使其重新成为大顶堆（或小顶堆）。
3. 重复步骤 2，直到堆大小为 1，排序完成。

需要掌握的部分知识：

• 完全二叉树：指除了最后一层外，其他层的节点都被完全填满，最后一层的节点都靠左排列，并且不存在不规则的空缺。这意味着从根节点到倒数第二层都是满的，最后一层从左到右有可能存在空缺，但不能跳过空缺。
• 堆：堆是一种基于完全二叉树的数据结构，可分为大顶堆和小顶堆。在大顶堆中，父节点的值大于等于其子节点的值；在小顶堆中，父节点的值小于等于其子节点的值。堆的性质使其适合用来进行排序和实现优先队列等数据结构。
• 堆的构建和调整：在堆排序中，我们主要关注构建初始堆和调整堆的过程。构建初始堆的目标是将一个无序数组调整为一个最大堆或最小堆。调整堆的目标是保持堆的性质，确保父节点的值大于等于（或小于等于）子节点的值。
• 完全二叉树中相关计算：对于任意节点来说，左子节点索引计算公式为2*i + 1，右子节点为：2*i + 2，最后一个非叶子节点计算公式为n/2 - 1（n为节点总数，i为当前节点索引）

这里的难点就是对应的概念和计算，拿到待排序数组后，首先需要将其构建为大顶堆（或小顶堆），然后需要进行相应的节点交换，并继续调整结构使其保持大顶堆（或小顶堆）特性，代码层面还需要配合动画多多理解

代码实现

相比之前的几种排序，堆排序就相对复杂一些，需要用到递归的思想。遇到递归，还是要考虑递归的出口，避免无休止的递归，这里使用递归就是不断调整来维持堆结构，自上而下递归，那么递归的出口就是到叶子节点（不能超出数组范围）。

主要分为三个方法：heapSort（对外提供的堆排序方法）、buildMaxHeap（构建初始堆结构方法）、heapify（真正调整堆结构、维持堆规则的方法）

package top.hellocode;


import java.util.Arrays;

/**
 * @author HelloCode
 * @blog https://www.hellocode.top
 * @date 2023年08月13日 20:01
 */
public class HeapSort {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {19, 23, 13, 7, 84, 66, 98, 78, 54, 32, 23, 77, 88, 17};
        System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(arr));
        heapSort(arr);
        System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(arr));
    }

    public static void heapSort(int[] arr) {
        // 构建初始堆结构（默认大顶堆，实现升序排序）
        buildMaxHeap(arr, arr.length);
        // 开始排序
        // 从堆顶取出元素，并和最后一个元素进行交换，并不断调整维持堆结构
        for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
            int temp = arr[i];
            arr[i] = arr[0];
            arr[0] = temp;
            heapify(arr, 0, i);
        }
    }

    // 构建初始最大堆
    private static void buildMaxHeap(int[] arr, int length) {
        // 构建大顶堆，从最后一个非叶子节点开始（(length - 1) / 2）
        for (int i = length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            heapify(arr, i, length);
        }
    }

    /**
     * 调整堆结构，使其成为最大堆
     * int[] arr：待调整数组
     * int index：子树根节点（从哪里开始向下调整）
     * int length：数组长度，主要用来判断子树递归是否到达了叶子节点（超出数组长度）
     */
    private static void heapify(int[] arr, int index, int length) {
        // 默认假设当前子树根节点为最大值，寻找左右子节点是否有更大值
        int max = index;
        int left = 2 * index + 1;
        int right = 2 * index + 2;
        // 递归终止条件（出口）
        if (left >= length || right >= length) {
            return;
        }
        // 开始比较左右子节点
        if (arr[left] > arr[max]) {
            max = left;
        }
        if (arr[right] > arr[max]) {
            max = right;
        }
        // 如果最大值发生了变化，则进行交换
        // 只要是有交换发生，就需要对其子树继续进行递归调整
        if (max != index) {
            int temp = arr[index];
            arr[index] = arr[max];
            arr[max] = temp;
            // 继续对其子树递归调整
            heapify(arr, max, length);
        }
    }
}

测试：

排序前：[19, 23, 13, 7, 84, 66, 98, 78, 54, 32, 23, 77, 88, 17]
排序后：[7, 13, 17, 19, 23, 23, 32, 54, 66, 77, 78, 84, 88, 98]

优化

堆排序的核心是构建堆和调整堆，可以通过一些优化来提升性能。

• 在构建堆的时候，有自顶向上和自底向下两种，不同的场景使用不同的方法性能也有不同，这里可以去了解了解，对对应的场景进行优化。

总结

优点

1. 高效性：堆排序的时间复杂度为 O(n log n)，在大规模数据下表现优异。
2. 不占用额外空间：堆排序是原地排序算法，不需要额外的存储空间。

缺点

1. 不稳定性：堆排序是不稳定的排序算法，相等元素的相对顺序在排序后可能发生变化。

复杂度

• 时间复杂度
  • 平均时间复杂度：O(n log n)
  • 最好情况时间复杂度：O(n log n)
  • 最坏情况时间复杂度：O(n log n)
• 空间复杂度：原地排序，空间复杂度为 O(1)。

使用场景

堆排序适用于大规模数据的排序，尤其在需要稳定排序时（如堆顶元素是最大值时）。虽然实现相对复杂，但其高效性使其成为处理大量数据的有力工具。在实际应用中，堆排序在需要高性能排序时可能是一个不错的选择。

当使用堆排序时，应特别注意其时间和空间复杂度的说明是基于固定的数据集。在实际情况中，堆排序的性能可能因为一些特定因素而有所不同，因此在特定情况下堆排序可能表现更好。