题解 | #1008.Coins# 2023杭电暑期多校9

1008.Coins

概率论

题目大意

$n$ 个人进行游戏，每个人初始有 $a_i$ 个硬币，每次随机选择一个人给另一个人一枚硬币
若某人给出硬币后没有剩余，则退出游戏。直到有人拿到所有硬币游戏结束
求游戏轮数的数学期望

解题思路

概率论还没学（）官方题解的鞅论看不懂（躺）//
等学完回来给严格推导（手搓大饼ing）
ACMer三大美德：暴力、打表、猜结论//下面给出道德解法（）

假设现在只有两个人，那么每个人给对方硬币的概率都为50%，直到其中一人没有硬币为止。
设这两个人的硬币数分别为 $m,n$ ，则游戏轮数期望为：
$f(m,n)=1+\frac{1}{2}f(m+1,n-1)+\frac{1}{2}f(m-1,n+1)$

可以发现越往后对期望的贡献越低，限制递归深度，利用如下程序暴力打表：

double f(ll m,ll n,ll rnd){
    if(rnd>40) return 0;//递归上限40层（已经要跑很久了）
    if(m==0||n==0) return 0;
    return 1+0.5*f(m+1,n-1,rnd+1)+0.5*f(m-1,n+1,rnd+1);
}
void solve()
{
    ll n,m;cin >> n >> m;
    cout << f(m,n,0) << endl;
}

得到以下打表结果（不得不说跑的是真慢）：

in:1 3 out:3
in:1 5 out:4.98732
in:2 3 out:5.99897
in:2 5 out:9.8626
in:3 4 out:11.8287

暴力打完表可以猜结论了： $f(m,n)=mn$ ，即对于两个人，答案是他们硬币数的乘积；
那么对于三个人，利用样例in:1 1 1 out:3盲猜是 $a_1{a}_2+a_1{a}_3+a_2{a}_3$
推广到 $n$ 个人，两两相乘再相加即可

由于数据较大，答案需要开int128才能放得下
另外结合数据范围，利用前缀和算出结果即可

时间复杂度

前缀和&求和：$O(n)$

参考代码

参考代码为已AC代码主干，其中部分功能需读者自行实现

void solve()
{
    int128 res;
    ll n,t;cin >> n;
    vector v(n+1),sum(n+1,0);
    FORLL(i,1,n){
        cin >> v[i];
        sum[i]=v[i]+sum[i-1];
    }
    FORLL_rev(i,n,1){
        res=res+sum[i-1]*v[i];
    }
    res.print();printf("\n");
    return;
}