剑指Offer14-II.剪绳子II C++

1、题目描述

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m - 1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m - 1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36
（这个题与前一个题的区别是，这个题大数运算，不能用动态规划）

2、VS2019上运行

使用贪心算法
贪心算法

#include 
using namespace std;

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        // 如果 n 小于等于 3，则直接返回 n - 1，因为长度为 2 和 3 时，不剪切乘积最大。
        if (n <= 3) return n - 1;
        // 如果 n 等于 4，则直接返回 4，因为长度为 4 时，将其剪成 2x2 的乘积最大。
        if (n == 4) return 4;
        long res = 1; // 初始化结果变量为 1，用于计算乘积。
        while (n > 4)
        {
            res *= 3;  // 每次乘以 3
            res %= 1000000007;  // 取模防止溢出
            n -= 3;  // n 减去 3
        }
        // 最后 n 的值只有可能是：2、3、4。
        // 而 2、3、4 能得到的最大乘积恰恰就是自身值
        // 因为 2、3 不需要再剪了（剪了反而变小）；
        // 4 剪成 2x2 是最大的，2x2 恰恰等于 4
        return res * n % 1000000007;
    }
};

int main() {
    Solution sol;
    int n;
    cout << "Enter the length of the rope: ";
    cin >> n;
    int maxProduct = sol.cuttingRope(n);
    cout << "Maximum product of the rope after cutting is: " << maxProduct << endl;
    return 0;
}

Enter the length of the rope: 10
Maximum product of the rope after cutting is: 36

3、解题思路

• 为什么选择剪成长度为 3 的绳子？这涉及到一个数学推导：
• 假设将绳子剪成长度为 x 和 n - x，其中 x 为一段的长度，n 为总绳子长度。我们希望求得这种剪法下的乘积最大值。
• 可以证明，当 x = n/3 时，乘积最大。对于长度为 n 的绳子：
• 1.当 n = 3k 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 的三段，此时乘积为 x^3 = (n/3)^3。
  2.当 n = 3k + 1 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 和 x + 1 = k + 1 的两段，此时乘积为 x * (x + 1)^2 = (n/3) * ((n/3) + 1)^2。
  3.当 n = 3k + 2 时，我们将绳子分成长度为 x = n/3 = k 和 x + 2 = k + 2 的两段，此时乘积为 x * (x + 2) = (n/3) * ((n/3) + 2)。
  可以观察到，在 n mod 3 = 0, 1, 2 时，乘积都可以表示为 x 的形式乘以某个因子。而要使乘积最大，我们需要选择 x 为整数，因此选择 x 最接近 n/3，并且取整数部分，即 x = floor(n/3)。