算法|Day43 动态规划11

LeetCode 123- 买卖股票的最佳时机 III

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]:一个二维的dp数组，第一维表示天数，第二维表示第几次是否持有股票。第二维奇数表示持有，偶数表示不持有。dp[i][1]表示第一次买入，dp[i][2]表示第一次卖出。dp[i][3]表示第二次买入，dp[i][3]表示第二次卖出。

1. 确定递推公式

如果第i天持第一次有股票即dp[i][1]

• 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
• 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]

如果第i天不持有股票即dp[i][2]

• 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][2]
• 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][1]

我们取最大值即可，即

dp[i][1] = max(dp[i-1][1],-prices[i]);

dp[i][2] = max(dp[i-1][2],dp[i-1][1]+prices[i]);

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

1. dp数组如何初始化

第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，这个初始值应该是多少呢？

此时还没有买入，怎么就卖出呢？ 其实大家可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值应该是多少呢？应该不少同学疑惑，第一次还没买入呢，怎么初始化第二次买入呢？

第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

1. 确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

1. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector& prices) {
        int len = prices.size();
        vector> dp(len,vector(5));
        if(len == 1)return 0;
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = -prices[0];
        dp[0][4] = 0;
        for(int i=1;i

总结：

• 本来以为这题是要用三维数组，第三维来表示第几次卖出股票。没想到是二维，第二维就足够来表示买卖这些东西的次数了。

LeetCode 188- 买卖股票的最佳时机 IV

题目链接：力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台

题目描述：给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

解题思路

本题和上题的唯一区别就是可以买卖多次

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。

题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

1. 确定递推公式

我们只需要判断当前是买入还是卖出，所以要对j取余，偶数则更新卖出，奇数更新买入。

奇数时

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]-prices[i]);

偶数时

 dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]+prices[i]);

1. dp数组如何初始化

偶数代表卖出，我们可以在同一天买入和卖出，所以我们偶数初始化为0。奇数次数初始化为prices[0]。

1. 确定遍历顺序

正序遍历即可

1. 举例推导dp数组

class Solution {
public:
    int maxProfit(int k, vector& prices) {
        int len = prices.size();
        if(len == 1) return 0;
        vector> dp(len,vector(2*k+1,0));
        for(int i=1;i

总结：

• 比上一题多了几种状态，多定义即可。