傅里叶变换

傅里叶变换的物理现象

七色光

光的色散

当白色的光经过三菱镜的时候，就会分解成七色光。这就是一种傅里叶变换，将白色光分解成其中颜色的光，逆变换是七色光合成白色光。

光是具有波粒二象性，所以我们可以认为光是波，那么，他的函数就是 , 其中表示频率, 每一种颜色的光都是一个正弦波函数，所以白色光的函数表示就是:

我们看到的是7色光，而实际上是无穷多光，所以标准的表达式:

我们如何分辨声音？

混合声波

我们能够同时听到各种各样的声音，但是，我们的大脑弄将噪音剔除，而听清楚人的说话声音。这个过程与七色光是类似的。每一个声音都是一个波，那么，大脑将声音分解出来，将自己不想听的声波过滤掉，就是滤波，那么，就能够从混合的声音中听清楚想要的声音了。

小结

前面所说的例子，都涉及到一个操作，就是变换，这种变换就傅里叶变换，将一个函数分解成若干个函数的线性组合。

傅里叶级数

先从傅里叶级数入手。对于任意一个周期函数其周期为 , 其可以分解成如下:

为什么是上面的公式？从几个方面来解释, 1. 周期 2. 函数分解 3. 函数的基

周期

因为的周期是 , 所以，我们选择的函数，需要也是周期是 , 在上面的式子中, 的最小周期是，因为其最小周期是，所以也是其周期。

例如

时,
时, , 最小周期是所以也是其周期。

通过上面的解释，我们知道和都是满足周期是的。

函数分解

任何一个函数都能够分解成一个奇函数和一个偶函数的和。

因为

所以是奇函数; 同理可以证明是偶函数。

函数的基

在介绍函数的基，先看看向量基，这是我们熟悉的事情。对于直角坐标系任意点

都可以通过两个基本向量来表示, 分别是和 , 也就是:

三维的也同样,

在向量空间，我们将 , 称作基向量，而任何一个向量都可以通过基向量的线性组合来表示出来。

那么，函数能否有类似的这样一组基来表示成函数基的线性组合呢？如果能够表示成基的线性组合，那么函数的分解这个问题也就解决了？

看看向量基具备的特性，然后，我们在仿照来寻找函数基.

向量满足正交性。也就是

, 例如。

顺便说一下, 其实代表了两个向量的相似度，正交基是垂直的所以相似度为0.

函数基正交性

根据向量的正交性，可以推断出函数的正交性是满足

现在来考察 , 为了简单起见，令 , 考察区间, 这样就是看与 .

当时,
当时,

所以与向量的正交性定义是一致的，所以认为与是正交的。

同样的方式，可以证明以下是正交的:

所以，是正交的，这也就是我们看到的傅里叶表达式，可以通过这三个正交基来线性组合表达的方式。

系数求解

有了函数正交基的概念，求解系数就变得非常容易，因为相互正交的积分为0, 自己与自己正交为。先求解

为了简单，我们假设 , 对两边同时乘以正交基并积分。如下:

$\int_{-\pi}^{+\pi} {f(x)cos(nx)} dx = \\ \int_{-\pi}^{+\pi} {\frac{a_0}{2}cos(nx)}dx + \sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{-\pi}^{+\pi} {a_n cos(nx)cos(nx)}dx} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\int_{-\pi}^{+\pi} {b_n sin(nx)cos(ns)}dx} \\ = 0 + \int_{-\pi}^{+\pi} {cos(nx)cos(nx)}dx + 0 = a_n\int_{-\pi}^{+\pi} {cos(nx)cos(nx)}dx = a_n\pi$

所以有

同理也可以推导出

对于来说，乘以后做积分即可。

可以看出每一个系数实际就是乘以其相应正交基的积分。

上面是假设，那么，去掉这个限制，用来表示，就是如下:

利用傅里叶级数来求解一些有意思的级数和

求的傅里叶级数，当 .

依据公式，求得:

, ,

所以

令 , 有

所以有:

这么神奇的级数和。

在复数域内的傅里叶级数

欧拉公式:

通过欧拉公式，变换得到:

带入到傅里叶级数中有:

$f(x) = \frac {a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n \frac{e^{nix} + e^{-inx}}{2} + b_n \frac{e^{nix} - e^{-inx}}{2i}} \\ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{a_n \frac{e^{nix} + e^{-inx}}{2}} + \sum_{n=1}^{+\infty}{b_n \frac{e^{nix} - e^{-inx}}{2i}} \\ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n - ib_n}{2} e^{nix}} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n + ib_n}{2} e^{-nix}} \\ = \frac{a_0}{2}e^{0ix} + \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{a_n - ib_n}{2} e^{nix}} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{\frac{a_n + ib_n}{2} e^{nix}} \\ = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}{c_n e^{nix}}$

通过上面的等式，也可以得出:

现在复数域上傅里叶变换的表达式就是:

在这种变化下，正交基是与。也就是:

当时,

所以也是符合符合正交基的定义的。有了正交基，计算就方便了，两边乘以积分即可。所以有:

前面的计算是假设 , 更通用的公式是:

频域

傅里叶级数将函数从时域转换到频域。我们将傅里叶级数稍稍变化一下写法，以向量的形式写出来。就是:

我们将系数向量单独看，也就是说任何一个函数 , 如果，我们知道了系数向量也就知道了 , 因为函数基的向量都是一样的，每一个函数基又是周期函数，所以频率就代表了这个函数基，这样周期函数组成的函数基空间，就是频域。可以用下面的式子来表达:

是的傅里叶级数变换; 是的逆变换。如果讲以为坐标系绘制成图像，就是频谱。

傅里叶系数能量

目前为止，我们使用了两种变换，分别是实数域变换和复数域变换，变幻出了不同的系数。那么，这些系数有什么含义？

在正弦函数基变化下，我们知道对于其中, 是振幅，也就是代表了正弦波的能量。所以不论在哪种分解下，都是能量在不同的维度上的分解。

对于复数域上:

其中表示的共轭。

所以这些系数也可以看做是能量。上面的推导，也叫: 帕塞瓦。

傅里叶变换

前面的傅里叶级数是基于周期是的周期函数变换而来。那么对于非周期函数如何解决呢？可以将其转化成的函数来看待。为了方便，我们假设周期 .

令

将以上带入有:

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} {(\frac{d\omega}{2\pi} \int_{-L}^{+L} {f(x) e^{-i{\omega}x} dx}) e^{i \omega x}} \\ = \int_{-\infty}^{+\infty}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x) e^{-i{\omega}x} dx}) e^{i \omega x} d\omega$

令:

有:

这与傅里叶级数的形式是一样的（一个是积分一个是求和）, 是函数基。的傅里叶变换就是 , 是的傅里叶逆变换，。就是频率曲线。

绘制出来是频谱，那么就是曲线。

傅里叶变换

这幅图很好的说明了这个过程:

图(a): 是周期是的时候，是离散的频谱
图(b): 将拉长，越大越小，函数基越小，看到频谱越来越密集
图(c): 当 , 频谱就变成了频率曲线。

傅里叶变换性质

, 那么的傅里叶变换是什么呢？直接计算:

${g(\omega)}' \\ = \frac{1}{2 \pi} {\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)}' e^{-i\omega x}} dx} \\ = \frac{1}{2 \pi} (f(x)e^{-i\omega x}|_{-\infty}^{+\infty} + i\omega{\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)} e^{-i\omega x}} dx} ) \\ = i\omega \frac{1}{2 \pi} {\int_{-\infty}^{+\infty} {{f(x)} e^{-i\omega x}} dx} ) \\ = i\omega g(\omega)$

所以。这个性质在解微分方程的时候，非常方便。
帕塞瓦定理:

卷积的傅里叶变换。卷积操作的傅里叶变换推导:

$F(f \star g)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} ({ \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) g(x - \tau) d\tau }) e^{-i \omega x} dx} \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega x} dx \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega (x - \tau)} e^{-i \omega \tau} d(x-\tau) \\ = \int_{-\infty}^{+\infty} {f(\tau) e^{-i \omega \tau}d\tau} \int_{-\infty}^{+\infty} {g(x - \tau)} e^{-i \omega (x - \tau)} d(x-\tau) \\ = F(\omega)G(\omega)$

所以和的卷积的傅里叶变换就是，独自傅里叶变换的乘积。

离散傅里叶变换

在实际的情况中，我们很难获得连续的值，那么，就通过等间距采样来获得信号数据。那么，离散的采样回来的数据，如何进行傅里叶变换？这就是离散傅里叶变换 D.F.T。

假设采样了个等间距的点, 获得数据是，令 , 离散傅里叶变换的表达式如下:

令 , 就有:

上面的的式子可以写成矩阵的形式:

$\mathscr{F}(f[n]) = G = \begin{bmatrix} g_0 \\ g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{N-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& \omega & \omega^2 &...& \omega^{N-1} \\ 1& \omega^2 & \omega^4 & ... & \omega^{2(N-1)} \\ ...& ...& ...& ...& ...& \\ 1& \omega^{N-1} & \omega^{2(N-1)} & ... & \omega^{(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{N-1} \end{bmatrix} = \Omega F$

这就是离散傅里叶变换。那么，离散傅里叶变换的逆变换如何计算呢？就是对变换矩阵求逆矩阵即可。

$F = \begin{bmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_{N-1} \end{bmatrix} = \frac {1}{N} \begin{bmatrix} 1& 1& 1& ...& 1\\ 1& \omega^{-1} & \omega^{-2} &...& \omega^{-(N-1)} \\ 1& \omega^{-2} & \omega^{-4} & ... & \omega^{-2(N-1)} \\ ...& ...& ...& ...& ...& \\ 1& \omega^{-(N-1)} & \omega^{-2(N-1)} & ... & \omega^{-(N-1)(N-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_0 \\ g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{N-1} \end{bmatrix} = \frac {1}{N} \Omega^{-1} G$

总结

到此已经将傅里叶级数，傅里叶变换，离散傅里叶变化以及傅里叶变换的卷积相关性质介绍完毕。

傅里叶变换

傅里叶变换

傅里叶变换的物理现象

七色光

我们如何分辨声音？

小结

傅里叶级数

周期

函数分解

函数的基

函数基正交性

系数求解

利用傅里叶级数来求解一些有意思的级数和

在复数域内的傅里叶级数

频域

傅里叶系数能量

傅里叶变换

傅里叶变换性质

离散傅里叶变换

总结

你可能感兴趣的:(傅里叶变换)