罗勇军 →《算法竞赛·快冲300题》每日一题:“质因子数量” ← 快速幂、素数筛

【题目来源】
http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1780
http://oj.ecustacm.cn/viewnews.php?id=1023

【题目描述】
给出n个数字,你可以任意选择一些数字相乘,相乘之后得到新数字x。
其中,
x的分数等于x不同质因子的数量
请你计算所有选择数字方案中,x分数的总和。答案对
1000000007取模。

【输入格式】
输入第一行为一个正整数n。
第二行包含n个正整数ai。(1≤n≤200000,1≤ai≤1000000)

【输出格式】
输出一个整数表示答案。即
输出所有的质数在所有组合中出现的总次数

【输入样例】
3
6 1 2

【输出样例】
10


【算法分析】
** 样例解析
针对本题中给出的包含 3 个数字的样例 {6, 1, 2},共有 8 种组合:∅, {1},{2},{6},{1,2},{1,6},{2,6},{1,2,6}。每种组合内数字相乘得 {∅, 1, 2, 6, 1×2, 1×6, 2×6, 1×2×6}={∅, 1, 2, 2×3, 2, 2×3, 2×2×3, 2×2×3},它们的质因子数量是 {0, 0, 1, 2, 1, 2, 2, 2},总和是10。∅ 表示空集。
也就是说,
从n个数中任选数字相乘,共有 2^n 种组合。由于本例中的 n 很大,所以直接调用pow() 库函数不可行,因为 pow() 不支持n超大的计算。另外,用位运算 2<

** 快速幂(https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/132344391
快速幂就是快速计算底数a的n次幂,其时间复杂度为O(log₂n)。
与朴素幂运算的时间复杂度O(n)相比,快速幂的计算效率有了极大的提高。
矩阵快速幂的思想和快速幂的思想是一样的。无非就是底数变为矩阵了。所以,在计算矩阵快速幂时,只需在代码中定义一下矩阵的乘法即可。
利用
位运算实现快速幂,原理如下:
                     a^{11}=a^{1011_{(2)}}=a^{2^3+2^1+2^0}=a^{8+2+1}=a^8\times a^2\times a^1
将十进制幂转换为二进制幂,然后利用二进制位间的倍增关系递推,达到快速计算幂的过程
计算过程中,为了防止溢出,需要进行“
取模运算,其运算规则如下:
(a+b)%p=(a%p+b%p)%p
(a-b)%p=(a%p-b%p)%p

(a*b)%p=(a%p*b%p)%p
利用快速幂计算 a^n 的代码模板如下:

const int MOD=1e9+7;
typedef long long ll;
ll fastpow(ll a,ll n) {
    ll ans=1;
    while(n) {
        if(n&1) ans=ans*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

** 一个质数可能在多少个组合中出现?
一个质数在一个组合中出现一次,答案加1。统计所有的质数在所有组合中出现的总次数,就是本题所求答案。一个质数可能在多少个组合中出现?设 x 是其中 k 个数的因子,那么它将在 2^n−2^(n−k) 个组合中出现。
例如,在样例 {6,1,2} 中,质数2是 {6,2} 这2个数的因子,那么质数 2 将在 2^n−2^(n−k)=2^3-2^(3-2)=2^3-2^1=6 个组合中出现,即 {2,6,1×2,1×6,2×6,1×2×6}={2,2×3,2,2×3,2×2×3,2×2×3}。
又如,在样例 {6,1,2} 中,质数 3 是 {6} 的因子,那么质数 3 将在 2^n−2^(n−k)=2^3-2^(3-1)=2^3-2^2=4 个组合中出现,即 {6,1×6,2×6,1×2×6}={2,2×3,2×2×3,2×2×3} 。
答案是 6+4=10。


** 素数筛 <-- 欧拉筛(https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/132352060
普通的素数筛法,即将给定的数 n 以内的所有数 x 的倍数 kx(k≥2) 都筛掉。
显然由下图可知,同一个数可能被多个素数重复筛掉。如下图中的 6、12 被重复筛掉。
这需要优化,欧拉筛便是一种素数的线性筛法。原理是让每个合数只被它的最小质因数筛掉,这样每个合数只会被筛选一次。

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本题的解题步骤是:
* 用素数筛得到所有的质数(本例代码用的是普通筛法,未用欧拉筛);
* 统计每个质数在 n 个数中出现的次数 k;
* 用 2^n-2^(n-k) 计算它在所有组合中的分数。


【算法代码】

#include 
using namespace std;

const int maxn=1e6+5;
int cnt[maxn];
bool st[maxn];

typedef long long ll;
const int MOD=1e9+7;
ll fastpow(ll a, ll n) {
    ll ans=1;
    while(n) {
        if(n&1) ans=ans*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        int a;
        scanf("%d",&a);
        cnt[a]++;
    }

    ll ans=0;
    for(int i=2; i



【参考文献】
https://blog.csdn.net/weixin_43914593/article/details/131750902
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/109556276

https://blog.csdn.net/qaqwqaqwq/article/details/123587336
https://zhuanlan.zhihu.com/p/494328631

 

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